Sí, las funciones singulares tienen derivadas débiles más o menos por definición. Estas derivadas débiles también pueden ser una derivada “fuerte” o clásica, dado que la función es lo suficientemente agradable.
Entonces, ¿por qué tiene una derivada débil? Bueno, la definición de funciones singulares como en Wikipedia, la derivada f ‘(x) existe en todas partes excepto por un conjunto N que tiene una medida cero y porque f (x) es continua.
Intuitivamente, las derivadas débiles son lo mismo que una derivada fuerte, excepto por un número finito de puntos. Piense en f (x) = | x |. Aparte de x = 0, f ‘(x) tiene una derivada en todas partes. Es decir, f ‘(x) = 1 para x> 0 y f’ (x) = – 1 para x <0. Entonces podemos ver que la derivada es casi el signo de función (x).
Sin embargo, debido a que el derivado doss no existe para x = 0, la derivada (fuerte) no es signo (x). Sin embargo, es una derivada débil porque eliminamos un número finito de puntos, es decir, x = 0.
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Volviendo a las funciones singulares, la continuidad de la función se utiliza para los criterios técnicos para la integrabilidad (Riemann), por lo tanto, satisface la definición de una derivada débil.