Encontrar la derivada de una función significa encontrar la pendiente de esa función / curva.
Para hacer eso, puede usar las cuatro reglas diferentes de derivados, que son:
- Regla de poder
- Regla del producto
- Regla del cociente
- Cadena de reglas
Sin embargo, si no ha repasado estas reglas, puede usar la fórmula:
[math] \ displaystyle \ lim_ {h \ to 0} \ dfrac {f (x + h) – f (x)} {h} [/ math], que se deriva de la fórmula de la pendiente para una línea recta.
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Por ejemplo, [math] f (x) = \ sqrt {x} [/ math], muestra una curva.
Usando la fórmula, podemos encontrar la pendiente de todas las líneas tangentes a la curva. Primero lo escribiremos y simplificaremos a medida que avanzamos.
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {h \ a 0} \ dfrac {f (x + h) – f (x)} {h} [/ matemáticas]
Sin embargo, antes de comenzar, definamos qué son [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] y [matemáticas] f (x + h) [/ matemáticas].
[matemáticas] f (x) = \ sqrt {x} [/ matemáticas]
[matemáticas] f (x + h) = \ sqrt {x + h} [/ matemáticas] (Composición)
Ahora que los hemos definido, reemplazamos las variables con valores.
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {h \ a 0} \ dfrac {\ sqrt {x + h} – \ sqrt {x}} {h} [/ matemáticas]
Como la fórmula usa límites, tenemos que buscar cualquier restricción en la fórmula. Observe que el denominador tiene una [matemática] h [/ matemática]. Entonces, [math] h \ neq 0 [/ math] porque si lo hace, entonces quedará indefinido. Por lo tanto, necesitamos deshacernos de esa [matemática] h [/ matemática]. En este problema, debemos multiplicar por el conjugado.
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {h \ a 0} \ dfrac {\ sqrt {x + h} – \ sqrt {x}} {h} * \ dfrac {\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x} } {\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x}} [/ math]
[math] = \ displaystyle \ lim_ {h \ to 0} \ dfrac {x + h – x} {h (\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x})} [/ math]
[math] = \ displaystyle \ lim_ {h \ to 0} \ dfrac {h} {h (\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x})} [/ math]
[math] = \ displaystyle \ lim_ {h \ to 0} \ dfrac {1} {\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x}} [/ math]
Ahora, dejamos que [math] h = 0 [/ math].
[matemáticas] = \ dfrac {1} {\ sqrt {x + 0} + \ sqrt {x}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ dfrac {1} {\ sqrt {x} + \ sqrt {x}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ dfrac {1} {2 \ sqrt {x}} [/ matemáticas]
La fórmula anterior le dará la pendiente de la curva, [matemática] f (x) = \ sqrt {x} [/ matemática] en cualquier punto.
Si no sabe cuál es el límite, puede ver este video realizado por el profesor Leonard en Youtube:
Para más información sobre derivados, puede ver su video sobre la pendiente de las curvas