Hablando formalmente, la función [matemáticas] f (x) = | x | [/ matemáticas] no es diferenciable porque
[matemáticas] f ‘(x) = \ lim \ limits_ {x \ a 0} {\ dfrac {f (x + h) -f (x)} {h}} [/ matemáticas]
no existe para [matemática] x = 0 [/ matemática] (porque los límites de la mano izquierda y derecha son [matemática] 1 [/ matemática] y [matemática] -1 [/ matemática], ¡y por lo tanto el límite no existe! )
Pero solo como ejercicio, podemos intentar encontrar una solución …
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- ¿Cómo puedo encontrar un operador de tipo derivación ‘D’ donde [matemáticas] D (xe ^ x) = xe ^ x [/ matemáticas] y [matemáticas] D (fg) = (D f) g + f (Dg), [/ math] [math] \ forall f, g: \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C} [/ math], o prueba que no existe?
Asumiendo una función real a real, [math] | x | [/ math] es lo mismo que [math] \ sqrt {x ^ 2} [/ math].
Entonces [math] \ dfrac {d} {dx} | x | = \ dfrac {d} {dx} \ sqrt {x ^ 2} [/ math]
[math] = \ dfrac 12 \ times \ dfrac {1} {\ sqrt {x ^ 2}} \ times 2x [/ math]
[matemáticas] = \ dfrac {x} {| x |} [/ matemáticas]
Que como puedes ver, es equivalente a la función:
[matemática] f ‘(x) = 1 [/ matemática] para [matemática] x> 0 [/ matemática], y [matemática] -1 [/ matemática] para [matemática] x <0 [/ matemática].