¿Por qué no puedes usar la regla de poder en [matemáticas] \ frac d {dx} \ frac1 {\ cos x} [/ matemáticas]?

Answer 1

Recordemos cuál es la regla de poder:

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left [x ^ n \ right] = nx ^ {n-1} [/ math]

donde [math] n [/ math] es una constante.

Como [math] \ frac {1} {\ cos (x)} [/ math] no es una potencia de [math] x [/ math], esta regla no se puede aplicar directamente. Si queremos aprovechar que es una potencia de [math] \ cos (x) [/ math], debemos diferenciar con respecto a [math] \ cos (x) [/ math]; es decir, la regla de poder puede usarse para concluir que

[matemáticas] \ frac {d} {d [\ cos (x)]} \ left [\ left (\ cos (x) \ right) ^ {- 1} \ right] = – \ left (\ cos (x) \ right) ^ {- 2} [/ math]

Uno puede terminar el problema usando la regla de la cadena. Para eso es precisamente la regla de la cadena: para cambiar la variable con respecto a la cual se toma la derivada.

Entonces,

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left [\ left (\ cos (x) \ right) ^ {- 1} \ right] = \ frac {d} {d [\ cos (x)]} \ left [\ left (\ cos (x) \ right) ^ {- 1} \ right] \ frac {d} {dx} \ left [\ cos (x) \ right] [/ math]

[matemáticas] = \ left (- \ left (\ cos (x) \ right) ^ {- 2} \ right) \ frac {d} {dx} \ left [\ cos (x) \ right] [/ math]

[matemáticas] = \ left (- \ left (\ cos (x) \ right) ^ {- 2} \ right) \ left (- \ sin (x) \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ frac {\ sin (x)} {\ left (\ cos (x) \ right) ^ 2} [/ math]

[matemáticas] = \ left (\ frac {\ sin (x)} {\ cos (x)} \ right) \ left (\ frac {1} {\ cos (x)} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ tan (x) \ seg (x) [/ matemáticas]

como cabría esperar.

Entonces, en efecto, la regla de poder se puede usar para tomar la derivada de [math] \ frac {1} {\ cos (x)} [/ math]. Es solo que la regla de la cadena debe usarse primero para convertir esto en un problema susceptible de la regla del poder. Normalmente, sin embargo, uno no escribe todo esto; en cambio, uno hace derivadas como esta en un solo paso, que es esencialmente el equivalente a omitir los pasos de rutina en otros problemas (lo cual se recomienda, ya que evita el desorden en los cálculos).

Answer 2

Puedes, solo tienes que usar la regla de la cadena también.

f (x) = 1 / x y g (x) = cos (x), entonces d / dx f (g (x)) = f ‘(g (x)) g’ (x)

f ‘(g (x)) = – (cos (x)) ^ (- 2): aquí es donde se usa la regla de potencia

g ‘(x) = -sin (x)

Multiplique esto y obtendrá sin (x) / (cos (x)) ^ 2, que es tan (x) / cos (x), o tan (x) sec (x), que es la derivada de sec (x )

Answer 3

La regla de poder involucra estados que

[matemática] f (x) = x ^ {\ text n} \ iff f ‘(x) = \ text nx ^ {\ text n-1} [/ math]

La regla de la cadena es

[matemáticas] y = g [f (x)] \ iff \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} = f ‘(x) g’ [f (x)] [/ matemática]

[matemáticas] f (x) = \ frac {1} {\ cos x} \ iff f (x) = (\ cos x) ^ {- 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = (\ cos x) ^ {- 1} \ iff f ‘(x) = – (\ cos x) ^ {- 2} (- \ sen x) [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = – (\ cos x) ^ {- 2} (- \ sin x) \ iff f’ (x) = \ frac {\ sin x} {\ cos x}. \ frac { 1} {\ cos x} [/ math]

[matemáticas] f ‘(x) = \ frac {\ sen x} {\ cos x}. \ frac {1} {\ cos x} \ iff f’ (x) = \ sec x \ tan x [/ matemáticas]

Sin embargo, esta es una función estándar llamada [math] \ sec x [/ math]

[matemáticas] f (x) = \ frac {1} {\ cos x} \ iff f (x) = \ sec x [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = \ seg x \ iff f ‘(x) = \ seg x \ tan x [/ matemáticas]

Resuelto!

Answer 4

Escriba 1 / cos (x) = (cos (x)) ^ (- 1) y use la regla de la cadena. dy / dx = (- 1) × ((cos (x)) ^ (- 1-1)) × (dcos (x) / dx) = – ((cos (x)) ^ (- 2)) × ( -sin (x)) = ((cos (x)) ^ (- 2)) × sin (x) = (sin (x)) / ((cos (x)) ^ 2) = (sin (x) / cos (x)) × (1 / cos (x)) = [matemáticas] tan (x) seg (x) [/ matemáticas].

Tenga en cuenta que (cos (x)) ^ (- 1) no es igual al inverso de cos (x) [math] = arccos (x) [/ math].