¿Qué función existe donde su inverso es igual a su derivada?

Answer 1

Una de esas funciones es [math] f (x) = \ varphi ^ {- \ frac1 \ varphi} x ^ {\ varphi} [/ math], donde [math] \ varphi = \ dfrac {1+ \ sqrt5} 2 [/ math] es la media dorada.

¿Cómo encontré esta función? Bueno, si queremos encontrar una sola función, podemos “adivinar”. Trataré de encontrar una función [matemática] f (x) = ax ^ p [/ matemática] para real [matemática] a [/ matemática] y [matemática] p [/ matemática] que satisfaga lo que queremos. Tenemos:

[matemáticas] f ‘(x) = ap x ^ {p-1} [/ matemáticas] y [matemáticas] f ^ {- 1} (x) = \ dfrac {x ^ {\ frac1p}} {a ^ {\ frac1p}} [/ math]

Entonces: [matemáticas] ap x ^ {p-1} = \ dfrac {x ^ {\ frac1p}} {a ^ {\ frac1p}} [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ {1+ \ frac1p} px ^ {p-1} = x ^ {\ frac1p} [/ matemáticas]

Al comparar primero los exponentes de [matemáticas] x [/ matemáticas], podemos inferir que [matemáticas] p-1 = \ frac 1p \ Rightarrow p ^ 2 = p + 1 [/ matemáticas], de las cuales [matemáticas] \ varphi [ / matemáticas] es una de las raíces. Igualando ahora el coeficiente, hay: [matemáticas] a ^ {1+ \ frac1 \ varphi} \ varphi = 1 [/ matemáticas]. Como [math] 1 + \ frac1 \ varphi = \ varphi [/ math], tenemos [math] a ^ \ varphi = \ varphi ^ {- 1} \ Rightarrow a = \ varphi ^ {- \ frac1 \ varphi} [ /matemáticas].

Bueno, puede haber muchos otros que se pueden construir por otros medios (¡e incluso otros que no se pueden construir en absoluto!), Pero esta respuesta enumera uno de ellos.

Answer 2

¿Dónde quieres que esa función viva y se defina? Si no pide demasiado, vea Función que satisface $ f ^ {- 1} = f ‘$

Answer 3

La función que existe de tal manera que su inverso es igual a su propia derivada es la función logarítmica natural, es decir, la función definida por la ecuación f (x) = ln x.

La inversa de la función logarítmica natural es la función exponencial natural que se define mediante la ecuación f⁻¹ (x) = eˣ. “La relación inversa entre la función logarítmica natural y la función exponencial natural se puede resumir de la siguiente manera: ln (eˣ) = x y e ^ (ln x) = x”. ¹

La función exponencial natural tiene la característica intrigante de que es su propia derivada , es decir, d [eˣ] / dx = eˣ, donde x es cualquier número real.

¹Roland E. Larson, Robert P. Hostetler y Bruce H. Edwards, Cálculo con geometría analítica, Sexta edición , “Funciones exponenciales: diferenciación e integración”, Houghton Mifflin Company, Boston, Nueva York, 1998, p. 338.

Answer 4

Entonces, para mayor claridad, reiteraré:
La pregunta es, ¿existe una función [matemática] f (x) [/ matemática] tal que [matemática] f ‘(x) = f ^ {- 1} (x) [/ matemática]?
Comencemos la exploración de la siguiente manera:
Supongo que [math] f (x) [/ math] es dos veces diferenciable, lo cual no es demasiado restrictivo ya que por la propia restricción de la naturaleza de f es [math] f ‘(x) = f ^ {- 1 } (x) [/ math] f ya es claramente una vez diferenciable.
Ahora, deje que [math] f (x) = y [/ math] y aplique [math] f ^ {- 1} [/ math] a ambos lados para obtener: [math] x = f ^ {- 1} (y ) [/ math] es decir, dado que f es invertible podemos pensar en [math] x = x (y) [/ math] y no estamos en la posición de diferenciar implícitamente [math] f (x) = y [/ math ] wrt. y para obtener la fórmula para la derivada de [math] f ^ {- 1} [/ math], a saber:

[matemáticas] (f ^ {- 1} (x)) ‘= 1 / f’ (f ^ {- 1} (x) [/ matemáticas] que es:

[matemáticas] 1 = (f ^ {- 1} (x)) ‘f’ (f ^ {- 1} (x)) [/ matemáticas]

Es en este punto que necesitamos usar y sustituir la suposición de que [math] f ‘(x) = f ^ {- 1} (x) [/ math] para obtener las siguientes condiciones limitantes sobre la naturaleza de tal f estamos buscando, es decir, sobre la sustitución propuesta que obtenemos, por ejemplo:

[matemáticas] 1 = f ” (x) f ‘(f ^ {- 1} (x) [/ matemáticas]

y después de otra sustitución:
[matemáticas] 1 = f ” (x) f ‘(f’ (x) [/ matemáticas]

u otra sustitución:
[matemáticas] 1 = (f ^ {- 1} (x)) ‘f ^ {- 1} (f ^ {- 1} (x)) [/ matemáticas]