¿Cómo se pueden determinar los puntos extremos de una función cuando la segunda derivada de esta función es cero (0)?

Answer 1

Para encontrar los puntos extremos, primero encontramos los puntos críticos determinando los puntos para los cuales la primera derivada es igual a cero. Estos puntos críticos pueden ser máximos o mínimos, en cuyo caso son puntos extremos o pueden ser puntos de inflexión en cuyo caso no son puntos extremos.

Para determinar los máximos o mínimos, generalmente usamos la segunda prueba derivada. Determinamos el valor de la segunda derivada en el punto extremo. Si el valor de la segunda derivada es positivo, entonces ese punto es un mínimo local y si el valor de la segunda derivada es negativo, entonces ese punto es un máximo local.

Sin embargo, si la segunda derivada en ese punto es cero, entonces la prueba de la segunda derivada falla. No podemos decir si este punto crítico es un máximo local o un mínimo local o un punto de inflexión.

En tal caso, determinamos el valor de la función en un punto ligeramente a la derecha del punto crítico, así como ligeramente a la izquierda del punto crítico.

Si el valor de la función en ambos puntos es menor que el valor de la función en el punto crítico, entonces el punto crítico es un máximo local.

Si el valor de la función en ambos puntos es mayor que el valor de la función en el punto crítico, entonces el punto crítico es un mínimo local.

Si el valor de la función en uno de estos puntos es mayor que el valor de la función en el punto crítico y el valor en el otro punto es menor que el valor de la función en el punto crítico, entonces el punto crítico es un punto de inflexión

Considere la función [matemáticas] f (x) = x ^ 3. [/ Matemáticas]

[math] f ‘(x) = 3x ^ 2 \ qquad \ Rightarrow \ qquad x = 0 [/ math] es un punto crítico.

[matemática] f ” (x) = 6x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f ” (0) = 0 [/ matemática] y, por lo tanto, la segunda prueba de derivada falla.

[matemáticas] f (0 + h) = h ^ 3> f (0) = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] f (0-h) = -h ^ 3 <f (0) = 0 [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ qquad x = 0 [/ math] es un punto de inflexión.

Ahora considere la función [matemáticas] f (x) = x ^ 4. [/ Matemáticas]

[math] f ‘(x) = 4x ^ 3 \ qquad \ Rightarrow \ qquad x = 0 [/ math] es un punto crítico.

[matemática] f ” (x) = 12x ^ 2 \ qquad \ Rightarrow \ qquad f ” (0) = 0 [/ matemática] y, por lo tanto, la segunda prueba de derivada falla.

[matemáticas] f (0 + h) = h ^ 4> f (0) = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] f (0-h) = h ^ 4> f (0) = 0 [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ qquad x = 0 [/ math] es un mínimo local.

Answer 2

Supongo que se refiere a la prueba local de la segunda derivada aplicada a los valores de x en la que la primera derivada es igual a cero. Cuando enseñé, siempre señalé esta debilidad de esa prueba, ya que no dice nada sobre lo que sucede si el valor de la segunda derivada también es cero en ese valor x.

Hay muchas posibilidades, demasiadas para enumerarlas aquí, pero depende mucho del dominio de la función. Si la función es al menos continua en un intervalo cerrado, la función debe alcanzar un máximo absoluto en algún valor x = a, y un mínimo absoluto en algún valor x = b. Puede que esto no se aplique, pero cómo manejar esto es estándar en los textos de Cálculo I, por lo que no lo repetiré aquí.

La forma en que generalmente manejo esto, donde el dominio no es solo un intervalo cerrado, es usar la prueba de la primera derivada. Es decir, si es posible, pruebo el signo de la primera derivada en valores cercanos e izquierdos del valor x, y también en aquellos cercanos y derechos de dicho valor x. Si el signo cambia, tiene un extremo relativo (que puede ser absoluto o no).

De hecho, uso esto incluso en los casos en que la prueba de la segunda derivada funcionaría.

Por ejemplo, si f (x) = x ^ 3 – 3x ^ 2, entonces f ‘(x) = 3x ^ 2 – 6x que se establece = 0.

Entonces, tenemos 3x (x-2) = 0. Esto da los valores de x 0 y 2. Elija, arbitrariamente, estos valores de x: 3 a la derecha de 2, 1 a la izquierda de 2 y derecha de 0, y -1 a la izquierda de 0. Ahora tome f ‘(3), f’ (1) y f ‘(- 1). Obtenemos f ‘(3) = 9, que es positivo, por lo que f aumenta en (2, infinito); f ‘(1) = -3, que es negativo, entonces f está disminuyendo en el intervalo (0, 2); y f ‘(- 1) = 9, que es positivo, entonces f aumenta en (-infinito, 0).

Incluso si nunca hizo esto, puede visualizar una curva ascendente, luego descendente y luego ascendente nuevamente. Entonces, en x = 0 tenemos f (0) = 0 un valor máximo relativo de f (x) en (-inf, 2), y en x = 2 tenemos f (2) = -4 un valor mínimo relativo de f (x) en (0, inf).

Los cursos de Cálculo estándar I analizan más a fondo este material, por lo que no lo repetiré aquí, solo para evitar tener que escribir.

Answer 3

Si la segunda derivada es siempre 0, la función debe ser continua, diferenciable y lineal, lo que significa que no tiene extremos a menos que se especifique una región. Si se especifica una región, el mínimo y el máximo (si existen) estarán en el límite de la región y son únicos para las funciones que asignan R a R pero no en dimensiones superiores