¿Cuáles son las fórmulas generales para la derivada de [matemáticas] \ sin ^ n (x), \, \ cos ^ n (x) \ text {y} \ tan ^ n (x) [/ matemáticas]?

Answer 1

Tenemos,

[matemáticas] \ begin {align} y = f (x) = \ sin ^ n {(x)} = (\ sin {(x)}) ^ n \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Toma logaritmos en ambos lados,

[matemáticas] \ begin {align} \ ln {(y)} = n \ cdot \ ln {(\ sin {(x)})} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Ahora diferenciar ambos lados,

[matemáticas] \ begin {align} \ frac {1} {y} \ frac {dy} {dx} = n \ cdot \ cot {(x)} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Multiplica ambos lados por [matemáticas] y [/ matemáticas],

[matemáticas] \ begin {align} \ frac {dy} {dx} = (n) \ cdot (y) \ cdot \ cot {(x)} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Pero [matemáticas] y = (\ sin {(x)}) ^ n [/ matemáticas]. Por eso,

[matemáticas] \ begin {align} \ frac {dy} {dx} = (n) \ cdot (\ sin {x}) ^ n \ cdot \ cot {(x)} \ end {align} \ tag * {} [/matemáticas]

No creo que sea muy difícil obtener derivados de [matemáticas] (\ cos {x}) ^ n [/ matemáticas] y [matemáticas] (\ tan {x}) ^ n [/ matemáticas] si Sigue los mismos pasos.

Si,

[matemáticas] \ begin {align} f (x) = (\ sin {x}) ^ n \ end {align} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} g (x) = (\ cos {x}) ^ n \ end {align} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} h (x) = (\ tan {x}) ^ n \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Entonces,

[matemáticas] \ begin {align} \ boxed {\ frac {df (x)} {dx} = (n) \ cdot (\ sin {x}) ^ n \ cdot \ cot {(x)}} \ end { alinear} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} \ boxed {\ frac {dg (x)} {dx} = (- n) \ cdot (\ cos {x}) ^ n \ cdot \ tan {(x)}} \ end {alinear} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ begin {align} \ boxed {\ frac {dh (x)} {dx} = (n) \ cdot (\ tan {x}) ^ {n-1} \ cdot (\ sec {(x) }) ^ n} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Answer 2

Use la regla de la cadena:

[matemáticas] (f \ circ g) ‘= (f’ \ circ g) g ‘[/ matemáticas]

Por ejemplo, para [matemáticas] \ sin ^ n (x) = (\ sin x) ^ n [/ matemáticas]

[matemáticas] f = x ^ n [/ matemáticas]

[matemáticas] g = \ sen x [/ matemáticas]

La fórmula de la regla de la cadena da:

[matemáticas] (\ sin ^ nx) ‘= n (\ sin x) ^ {n-1} \ cos x [/ matemáticas]

Los otros se resuelven de manera similar.

Answer 3

[matemáticas] {\ sin} ^ {n} (x) [/ matemáticas]:

Use la regla de cadena conociendo la regla de poder y que la derivada de [math] \ sin (x) = \ cos (x) [/ math]; la función interna es [math] \ sin (x) [/ math] y la función externa es [math] {x} ^ {n} [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle n {\ sin} ^ {n – 1} (x) \ cdot \ cos (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = n \ cos (x) {\ sin} ^ {n – 1} (x) [/ matemáticas]

---

[matemáticas] {\ cos} ^ {n} (x) [/ matemáticas]:

Use un razonamiento similar al anterior y use la regla de la cadena sabiendo que la derivada de [math] \ cos (x) = – \ sin (x) [/ math] para obtener

[matemáticas] \ displaystyle n {\ cos} ^ {n – 1} (x) \ cdot – \ sin (x) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = -n \ sin (x) {\ cos} ^ {n – 1} (x) [/ matemáticas]

---

[matemáticas] {\ tan} ^ {n} (x) [/ matemáticas]:

Nuevamente, use la regla de la cadena, sabiendo que la derivada de [math] \ tan (x) [/ math] es [math] {\ sec} ^ {2} (x) [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle n {\ tan} ^ {n – 1} (x) \ cdot {\ sec} ^ {2} (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = n {\ sec} ^ {2} (x) {\ tan} ^ {n – 1} (n) [/ matemáticas]

Y tus fórmulas han sido obtenidas.

Answer 4

Solo descubro 2 el pecado y el cos

En general:

(sin (ax) ^ n) ‘= (a ^ n) (sin (ax + n (pi / 2)))

(cos (ax) ^ n) ‘= (a ^ n) (cos (ax + n (pi / 2)))

Espero que esto ayude.

Answer 5

Pista: deberías usar la regla de la cadena.

Answer 6

Aplica la regla de la cadena y la regla de poder.

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ sin ^ nx \ equiv (\ sin x) ^ n \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = (\ sin x) ^ n \ iff f ‘(x) = n (\ sin x) ^ {n-1} (\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} (\ sen x)) \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle f ‘(x) = n (\ sin x) ^ {n-1} (\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} (\ sin x)) \ iff f ‘(x) = n (\ sen x) ^ {n-1} \ cos x \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ cos ^ nx \ equiv (\ cos x) ^ n \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = (\ cos x) ^ n \ iff f ‘(x) = n (\ cos x) ^ {n-1} (\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} (\ cos x)) \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle f ‘(x) = n (\ cos x) ^ {n-1} (\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} (\ cos x)) \ iff f ‘(x) = – n (\ cos x) ^ {n-1} \ sin x \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ tan ^ nx \ equiv (\ tan x) ^ n \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = (\ tan x) ^ n \ iff f ‘(x) = n (\ tan x) ^ {n-1} (\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} (\ tan x)) \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle f ‘(x) = n (\ tan x) ^ {n-1} (\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} (\ tan x)) \ iff f ‘(x) = n (\ tan x) ^ {n-1} \ sec ^ 2 x \ tag * {} [/ math]

Herramientas utilizadas:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ sin x = \ cos x \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemática] \ displaystyle \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ cos x = – \ sin x \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ tan x = \ sec ^ 2 x \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} x ^ n = nx ^ {n-1} \ tag * {} [/ matemáticas]