Bueno, por ejemplo, digamos que queremos derivar una fórmula para la derivada de [math] x ^ 2 [/ math]. Entonces nosotros tenemos
[matemáticas] \ lim \ límites_ {h \ a 0} \ dfrac {(x + h) ^ 2 – x ^ 2} {h} [/ matemáticas]
No nos gusta tener esa h en el denominador que va a cero, así que veamos si podemos reescribir la expresión de una manera que la elimine. Primero, solo continúa y expande todas las cosas en el numerador; tal vez tengamos suerte y algo se cancele.
[matemáticas] = \ lim \ límites_ {h \ a 0} \ dfrac {x ^ 2 + 2 xh + h ^ 2 – x ^ 2} {h} [/ matemáticas]
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Simplificar:
[matemáticas] = \ lim \ límites_ {h \ a 0} \ dfrac {2 xh + h ^ 2} {h} [/ matemáticas]
Bien, genial, ahora podemos cancelar las h en la parte superior con las h en la parte inferior. (Técnicamente, esto cambia el valor de la función en h = 0; anteriormente no estaba definida y ahora no lo estará. Sin embargo, cuando tomamos un límite como [math] h \ a 0 [/ math], entonces, según la definición de un límite, el valor de la función en h = 0 no afecta el límite, por lo que está bien).
[matemáticas] = \ lim \ límites_ {h \ a 0} 2 x + h = 2 x [/ matemáticas]
Puede calcular la derivada de casi cualquier función agradable de manera similar. A veces, calcular uno de los límites implicará un truco ad-hoc, como cuando se diferencia la función seno, pero eso es algo con lo que se trata caso por caso.
Hay algunas integrales que se pueden calcular fácilmente a partir de los primeros principios, pero en general es mejor usar el teorema fundamental del cálculo y simplemente averiguar qué tipo de función tendría una derivada particular. Eso se reduce a saber cómo son las derivadas de un montón de funciones diferentes. Las técnicas estándar que verá en los libros de texto (integración por partes, sustitución, etc.) son solo casos especiales: por ejemplo, la integración por partes es simplemente “intentemos configurar algo que tenga esta derivada usando la regla del producto para derivados “.