¿Hay alguna función que sea su propia derivada y que no contenga el número e o sea y = 0?

Answer 1

Puede cambiar a una base diferente, pero obtendrá una exponencial.

Lo que está describiendo, la derivada de la función es igual a la misma función, es una ecuación diferencial ordinaria, y la razón por la que puede resolver ecuaciones diferenciales es que existen teoremas de unicidad para las soluciones. Usted tiene la ecuación, que la ubica en una familia de soluciones relacionadas, y luego las condiciones iniciales determinan la solución.

Para dar un bosquejo de por qué esto funcionaría, suponga que tiene la ecuación [math] y ‘= y [/ math], con [math] y (0) = x_0 [/ math] había dos soluciones distintas, [math] y_1 [/ math] y [math] y_2 [/ math].

Por sustitución, está claro que si [math] y_1 [/ math] y [math] y_2 [/ math] resuelven la ecuación, incluida la ecuación diferencial y las condiciones iniciales, [math] Y = y_1 – y_2 [/ math] resolverá la ecuación diferencial [matemática] y ‘= y [/ matemática].

Pero [matemáticas] Y (0) = x_0 -x_0 = 0 [/ matemáticas].
Piense en cómo evolucionaría esta función con el tiempo. Inicialmente es cero, y la tasa de cambio es igual a la función misma. Entonces, el valor inicial es cero, y la tasa de cambio inicial será cero, por lo que permanecerá cero hasta el próximo momento infinitesimal. Y luego permanece cero otra vez. Y otra vez.
La única solución será Y = 0 en todas partes. Lo que significa [matemáticas] y_1 = y_2 [/ matemáticas] para todas las x.

Answer 2

No, y podemos mostrar esto resolviendo la ecuación diferencial:

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = y [/ matemáticas]

(ya que esto expresa formalmente que una función “es su propia derivada”, donde y representa nuestra función)

Si [math] y \ neq 0 [/ math] entonces podemos dividir por [math] y [/ math] (de lo contrario si [math] y = 0 [/ math], eso da una posible solución).

[matemáticas] \ frac {1} {y} \ frac {dy} {dx} = 1 [/ matemáticas]

Ahora, la integración de ambos lados con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas] da:

[matemáticas] \ int \ frac {1} {y} \ frac {dy} {dx} dx = \ int 1 dx [/ matemáticas]

Por la regla de la cadena, el lado izquierdo se puede reescribir como una integral con respecto a [math] y [/ math], para dar:

[matemáticas] \ int \ frac {1} {y} dy = \ int 1 dx [/ matemáticas]

La integración de ambos lados da:

[math] \ log_e | y | = x + C [/ math], donde [math] C [/ math] es una constante combinada de integración de ambas integrales.

Reorganizar esto da

[matemáticas] y = \ pm e ^ {x + C} [/ matemáticas]

Podemos reescribir esto como

[matemática] y = Ae ^ x [/ matemática], donde [matemática] A = \ pm e ^ C [/ matemática]

Entonces, podemos escribir en general la solución como [matemática] y = Be ^ x [/ matemática], donde [matemática] B [/ matemática] es un número real, incluido cero (para capturar la [matemática] y = 0 [ / math]). Pero no hay más soluciones.

¡Espero que ayude!

Answer 3

No, no hay otros. La ecuación diferencial y ‘(x) = y no puede tener múltiples soluciones basadas en la condición inicial x (0) = x0. Obtenemos y = x0e ^ x como una solución que es válida en todas partes, incluso en x = 0.

Hay otra forma de escribir esta ecuación.

Y = x0 (cos (ix) -isina (ix))

Cumple la ecuación diferencial y la condición inicial, pero se ve totalmente diferente. El hecho es que esta función trigonométrica imaginaria en realidad siempre genera el resultado de valor real x0e ^ x, las dos funciones son iguales entre sí.

Answer 4

Cualquiera de estas funciones satisface la ecuación diferencial dy / dx = y, con la solución y (x) = y (0) e ^ x. Esto cubre los dos casos que mencionó.