¿Cuáles son algunas aplicaciones matemáticas lindas / fáciles de derivados? Educación te da un futuro mejor

Una aplicación linda y no necesariamente obvia de derivados es que se puede usar para evaluar sumas.

Considere, por ejemplo, la suma:
[matemáticas] S = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n \, 2 ^ n} [/ matemáticas]
Ahora claramente esto es convergente, pero ¿cuál es su valor?

Ahora a la genialidad de los derivados! Resulta que en lugar de resolver la suma anterior, es más fácil resolver toda la clase de sumas dada por
[matemáticas] S (x) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {x ^ n} {n} [/ matemáticas]
donde podemos poner [matemáticas] x = 1/2 [/ matemáticas] para recuperar [matemáticas] S [/ matemáticas].
Me parece realmente agradable que un problema más general sea más fácil que un caso especial. Ahora podemos diferenciar para encontrar
[matemáticas] S ‘(x) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty x ^ {n-1} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty x ^ {n}. [/ math]
Esto supone una convergencia absoluta, pero está bien aquí. Ahora esta suma es mucho más fácil. En particular
[matemáticas] x S ‘(x) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty x ^ {n} [/ matemáticas]
entonces
[matemáticas] S ‘(x) – x S’ (x) = 1 [/ matemáticas]
y por lo tanto
[matemáticas] S ‘(x) = \ frac {1} {1-x} [/ matemáticas]
(de nuevo, esto supone una convergencia absoluta, que corresponde a [matemática] | x | <1 [/ matemática] – y también [matemática] x \ neq 0 [/ matemática] ya que [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática] no está definida) .

De esto podemos concluir que
[matemáticas] S (x) = – \ ln (1-x) [/ matemáticas]
y entonces nuestro problema original tiene la solución
[matemáticas] S = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n 2 ^ n} = S (1/2) = \ ln (2) [/ matemáticas]

Siento que esta es una aplicación realmente “linda” y (hasta que lo hayas visto una vez) sorprendente de derivados.