¿Por qué existe una derivada para la torre de energía infinita x ^ x ^ x ^ …?

Answer 1

Veamos qué podemos descubrir sobre esta función. Dejar

[matemáticas] \ displaystyle y = f (x) = x ^ {x ^ {x ^ {\ cdots}}}. [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que [math] y = x ^ y, [/ math] para que [math] x = f ^ {- 1} (y) = y ^ {1 / y}. [/ Math] Entonces conocemos la función inversa . Eso debería ser suficiente para determinar la derivada. Aquí hay un gráfico de [matemáticas] f ^ {- 1} [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que no es una función uno a uno. Aumenta hasta que [matemática] y = e [/ matemática] luego disminuye. El valor máximo que toma es [matemática] e ^ {1 / e} \ aprox 1.44668. [/ Matemática]

Probablemente la forma más fácil de encontrar la derivada [math] \ frac {dy} {dx} [/ math] es diferenciar implícitamente la ecuación [math] y = x ^ y. [/ Math] Primero tome los registros para facilitar la diferenciación .

[matemáticas] \ log y = y \ log x [/ matemáticas]

Luego tome [math] \ frac {d} {dx} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac1y \, \ frac {dy} {dx} = \ frac {dy} {dx} \, \ log x + \ frac yx [/ math]

Resolver para [math] \ frac {dy} {dx} [/ math] para obtener

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {dy} {dx} = \ frac {y} {x (1 / y- \ log x)} = \ frac {x ^ {x ^ {x ^ {\ cdots}}}} {x (1 / x ^ {x ^ {x ^ {\ cdots}}} – \ log x)} [/ math]

Por cierto, la secuencia original de funciones converge

[matemáticas] \ displaystyle x, x ^ x, x ^ {x ^ x}, x ^ {x ^ {x ^ x}}, \ ldots \ to f (x) = x ^ {x ^ {x ^ {\ cdots}}} [/ math]

en el intervalo [matemáticas] (e ^ {- e}, e ^ {1 / e}]. [/ matemáticas]

Aquí están los gráficos de las primeras funciones.

En el intervalo [matemáticas] (e ^ {- e}, 1) [/ matemáticas] las que tienen un número impar de x convergen desde abajo, mientras que las que tienen un número par de x convergen desde arriba. En el intervalo [matemáticas] (1, e ^ {1 / e}] [/ matemáticas] todos los términos convergen desde abajo.

Answer 2

Lo primero que debe preguntarse es “¿por qué existe el valor de la torre de energía infinita?” Una vez que responda que su derivada es solo un corolario.

En el análisis estándar, nunca estás mirando toda la torre de energía a la vez. Estás viendo la secuencia de funciones [matemáticas] f_1 (x) = x [/ matemáticas], [matemáticas] f_2 (x) = x ^ x [/ matemáticas], [matemáticas] f_3 (x) = x ^ { x ^ x} [/ math] etc. ¡Lo primero que debe preguntarse es si [math] \ lim_ {n \ to \ infty} f_n (x) [/ math] existe en absoluto! Me parece sorprendente que lo haga, pero aquí se explican algunos aspectos: Power Tower, de Wolfram MathWorld. Como su pregunta no es muy específica, la respuesta engañosa es “porque la función límite es [matemática] -W (- \ ln (x)) / \ ln (x) [/ matemática] en el intervalo donde converge, y esa es una composición de funciones diferenciables y, por lo tanto, es diferenciable “.