Voy a dar una respuesta de “físicos”, en la que supongo que el integrando que nos interesa es “suficientemente bueno”, lo que en este caso significa que tanto la función como su derivada son continuas en la región en la que estamos integrando sobre. Lo siguiente no estará cerca de convencer a un matemático, pero con suerte le dará algo de intuición.
El “teorema” más importante, que permite la integración de Feynman, es el siguiente: para funciones suficientemente agradables [matemáticas] f (x) [/ matemáticas],
[matemáticas] \ frac {d} {dy} \ int_a ^ bf (x, y) \, dx = \ int_a ^ b \ frac {\ partial} {\ partial y} f (x, y) \, dx [/ matemáticas]
Esto es lo que da origen al nombre ‘diferenciación bajo el signo integral’. La afirmación es que para diferenciar la integral, simplemente podemos diferenciar el integrando (observe, críticamente, que [math] y [/ math], la variable que estamos diferenciando con respecto a, no es la variable de integración [math ] x [/ matemáticas]). Intuitivamente, esto debería tener sentido: podemos escribir la integral como una suma de Riemann,
[matemáticas] \ int_a ^ bf (x, y) \, dx = \ sum_ {i = 1} ^ nf (x_i, y) (x_i – x_ {i-1}) [/ matemáticas]
en cuyo caso la linealidad de la derivada da que
[matemáticas] \ frac {d} {dy} \ sum_ {i = 1} ^ nf (x_i, y) (x_i – x_ {i-1}) [/ matemáticas]
[math] = \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {\ partial} {\ partial y} f (x_i, y) (x_i – x_ {i-1}) [/ math]
donde este último es simplemente la suma de Reimann correspondiente al integrando [math] \ partial / \ partial yf (x, y) [/ math]. Aquí es donde la ‘amabilidad’ de la función es crítica: esto no se mantiene por debajo del límite, ya que llevamos [matemática] \ Delta x = x_i – x_ {i-1} \ a 0 [/ matemática] para cada función , pero para funciones agradables, que es con lo que casi siempre trabajan los físicos, este resultado es cierto.
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Veamos un ejemplo. Mi primera introducción a la integración de Feynman fue considerar la integral
[matemáticas] \ int_0 ^ \ infty x ^ 2e ^ {- x} \, dx [/ matemáticas]
En realidad, podemos abordar el problema más general
[matemáticas] \ int_0 ^ \ infty x ^ ne ^ {- x} \, dx [/ matemáticas]
Para hacer esto con los métodos habituales, deberíamos integrar esto por partes [matemáticas] n [/ matemáticas] veces, para reducir esto a la integral de [matemáticas] e ^ {- x} [/ matemáticas]. ¡Eso es terrible! Intentemos ser engañosos, como Feynman. Para comenzar, note primero que
[matemáticas] \ int_0 ^ \ infty e ^ {- kx} \, dx = \ frac 1k [/ matemáticas]
A continuación, podemos reescribir nuestro integrando, insertando una [matemática] k [/ matemática] en el exponente que luego estableceremos en 1, como derivada:
[matemáticas] x ^ ne ^ {- kx} = (-1) ^ n \ frac {\ partial ^ n} {\ partial k ^ n} e ^ {- kx} [/ matemática]
ya que cada derivada reduce un factor de [math] -x [/ math]. Entonces podemos reescribir nuestra integral como
[matemáticas] \ int_0 ^ \ infty x ^ ne ^ {- kx} \, dx = (-1) ^ n \ int_0 ^ \ infty \ frac {\ partial ^ n} {\ partial k ^ n} e ^ {- kx} \, dx = [/ matemáticas]
[matemáticas] (- 1) ^ n \ frac {d ^ n} {dk ^ n} \ int_0 ^ \ infty e ^ {- kx} \, dx = (-1) ^ n \ frac {d ^ n} { dk ^ n} \ frac 1k = n! \ frac 1 {k ^ {n + 1}} [/ matemáticas]
Sacar la derivada del signo integral fue muy útil: [matemática] 1 / k [/ matemática] es una de las funciones más fáciles de diferenciar. Ahora podemos volver a nuestra integral original
[matemáticas] \ int_0 ^ \ infty x ^ ne ^ {- x} \, dx = \ int_0 ^ \ infty x ^ ne ^ {- kx} \, dx \ bigg | _ {k = 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = n! \ frac 1 {k ^ {n + 1}} \ bigg | _ {k = 1} = n! [/ math]
lo cual es mucho más fácil que integrar por partes muchas veces.
En general, esta estrategia de insertar un parámetro [math] k [/ math] en el lugar correcto es lo que desbloquea todo el poder de la integración de Feynman. En el ejemplo anterior, reconocimos el integrando como una derivada de una buena función; otro tipo común de integral es aquel en el que la derivada del integrando es simple, de modo que definir la función
[matemáticas] I (y) = \ int_a ^ bf (x, y) \, dx [/ matemáticas]
es facil de encontrar
[matemáticas] I ‘(y) = \ int_a ^ b \ frac {\ partial} {\ partial y} f (x, y) \, dx [/ math]
que luego puede ser antidiferenciado, para que nuestra integral original sea
[matemáticas] \ int_a ^ bf (x, y) \, dx = \ int I ‘(y) \, dy [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que hay una variable de integración a tener en cuenta: una forma común de averiguar cuál debería ser es encontrar un valor [math] y_0 [/ math] para el cual [math] f (x, y_0) = 0 [/ matemática], de modo que [matemática] I (y_0) = 0 [/ matemática]. ¡Inténtalo tú mismo! Una buena aplicación para esta última estrategia es
[matemáticas] \ int_0 ^ 1 \ frac {x ^ 2 – 1} {\ log x} \, dx [/ matemáticas]
(¿Necesita una pista? Intente insertar el parámetro [math] k [/ math] en el exponente del término [math] x [/ math] y luego configúrelo en [math] k = 2 [/ math]).
