¿Qué es un gradiente?

Answer 1

El gradiente de una función en un punto representa su pendiente en el punto. Para averiguar el gradiente de la función [matemáticas] f (x_ {1}, x_ {2}…. X_ {n}) [/ matemáticas] en un punto [matemáticas] (x_ {1}, x_ {2}… . x_ {n}) [/ math], encuentre derivada parcial para la función ([math] \ bigtriangledown [/ math] f) y sustituya el punto [math] (x_ {1}, x_ {2}… x_ { n}) [/ math] en [math] \ bigtriangledown [/ math] f

Por ejemplo

[matemáticas] f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2} -1.5 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

El gradiente de f (x, y) es

[matemáticas] \ frac {\ partial f} {\ partial x} = 2x \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ partial f} {\ partial y} = 2y \ tag * {} [/ matemáticas]

El gradiente en un punto (2,1) es

[matemáticas] \ bigtriangledown [/ matemáticas] f = (2 (2), 2 (1)) = (4,2)

El vector de gradiente para el punto se dibuja en la figura siguiente.

La cola del vector de gradiente debe estar en el punto donde se necesita calcular el gradiente. Luego, la flecha se estira hasta un punto (6,3) que no es más que la suma de los vectores (4,2) y (2,1).

Answer 2

El gradiente es la tasa de cambio multidimensional de una función dada.

“El vector gradiente es un representante de tales vectores que dan el valor de diferenciación (significa característica de la curva en términos de valor creciente y decreciente en 3 o múltiples dimensiones) en toda la dirección de 360 ​​° para el punto dado en la curva”

Sabemos que la representación vectorial está en forma de vector unitario de x, y, z. Para que un vector siempre esté compuesto de componentes x, y, z Así se puede aplicar el mismo método para el gradiente Pero en este caso los componentes x, y, z son un poco diferentes Primero tome la proyección de la curva tridimensional dada [z = f (x, y)] en el plano x, z para que signifique constante y. Ahora tome la diferenciación de a = f ‘(x) en constante y. Entonces, esta ‘a’ es el componente ‘x’ del vector de gradiente (por lo que la diferenciación parcial no es más que diferenciar en el plano de curva proyectado). Siguiendo este método y, z se pueden obtener ambos

Aquí hay un video para la visualización de lo anterior

Si tomamos un producto de punto entre el gradiente y el vector, podemos obtener la característica de aumento o disminución de la curva en la dirección x por producto de punto. Entonces, si queremos obtener la característica de aumento o disminución en la dirección (x, y, z) por su producto de punto con vector de gradiente. Basándonos en esto, podemos decir que hemos convertido toda la característica del sistema de la forma escalar a la forma vectorial.

Véase también: Cálculo vectorial: comprensión del gradiente

Answer 3

Considere una habitación en la que la temperatura está dada por un campo escalar , entonces en cada punto la temperatura es . Asumiremos que la temperatura no cambia a tiempo. Luego, en cada punto de la habitación, el gradiente en ese punto mostrará la dirección en que la temperatura aumenta más rápidamente. La magnitud del gradiente determinará qué tan rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Answer 4

La definición de gradiente depende del contexto en el que lo esté utilizando.

Generalmente: se refiere a una pendiente o pendiente en una carretera u otra característica topográfica.

En física: un aumento o disminución en la magnitud de una propiedad (temperatura, presión, etc.).

En matemática: generalización multivariante de la derivada, lo que la convierte en una función vectorial.

En diseño gráfico / arte: un gradiente de imagen se refiere al cambio / mezcla gradual de color o textura

Answer 5

“Gradiente” es prácticamente sinónimo de “inclinación” o “pendiente”. El término se usa con este significado cuando se habla, por ejemplo, de senderos que suben y bajan montañas. En matemáticas, puede considerar una función “escalar” (= simple, una variable) de varias dimensiones (generalmente tres), y preguntar cómo varía con los cambios en estas coordenadas. Lo que a menudo es de interés es la dirección en que la variable cambia más rápidamente (hacia arriba o hacia abajo), y cuánto es el cambio en la variable, para un paso “estándar” dado en la posición de coordenadas.

Answer 6

Piense en gradiente como un operador más. Comprenda que las derivadas parciales son casos especiales de lo que se denomina derivadas direccionales. Dada una función, [math] f (x, y) [/ math] la derivada direccional de [math] f [/ math] con respecto a t en [math] (x0, y0) [/ math] a lo largo del vector unitario [math] z = u \ hat \ imath + v \ hat \ jmath [/ math] se define como [math] \ displaystyle \ lim_ {t \ to 0} \ dfrac {f (x0 + t * u, y0 + t * v) – f (x0, y0)} {t}. [/ math] Tenemos, [math] x = x0 + t * u [/ math] y [math] y = y0 + t * v [/ math ] como la línea a lo largo de la cual se encuentra la derivada. Por regla de cadena tenemos,

[matemática] \ dfrac {\ parcial f (x0, y0)} {\ parcial x} * u + \ dfrac {\ parcial f (x0, y0)} {\ parcial y} * v [/ matemática]

como la derivada direccional que es esencialmente [math] \ nabla f (x0, y0) \ cdot z. [/ math]

[matemática] \ nabla f (x0, y0) [/ matemática] es el gradiente. Debido a que la derivada direccional es solo un producto puntual, está claro que f aumenta más rápidamente en la dirección del gradiente y disminuye más rápidamente en la dirección opuesta del gradiente. [matemáticas] f [/ matemáticas] no cambia el valor cuando nos movemos en una dirección que es ortogonal a la dirección descrita por el gradiente.

Answer 7

La tasa de cambio de la coordenada y con respecto a la coordenada x. Entonces, se puede calcular como cambio en y / cambio en x.