Estas no son ecuaciones diferenciales; 18.21-22 es solo un sistema de ecuaciones ordinarias. Es decir, 113.75-20Q1-5Q2 = 0 y 80-20Q2-5Q1 = 0. La forma más fácil de resolver un sistema de este tipo es resolver una ecuación para Q1 y sustituir ese valor en el otro para obtener una ecuación que solo depende de Q2. Después de resolver eso, solo complete Q2 en la otra ecuación y listo.
También puede interpretar la otra parte de las ecuaciones, es decir, dpi / dQ1 = 113.75-20Q1-5Q2 y dpi / dQ2 = 80-20Q2-5Q1, como ecuaciones diferenciales, resolviendo así la función pi (Q1, Q2). No es muy útil aquí porque ya conocemos la función pi, dada por 8.20. Pero el cálculo es bastante fácil:
[math] \ frac {\ partial pi} {\ partial Q_1} = 113.75 – 20Q_1 – 5Q_2 [/ math] (ahora integre con respecto a Q1)
[math] \ pi (Q_1) = 113.75Q_1 – 10Q_1 ^ 2 – 5Q_1Q_2 + c_1 [/ math], donde [math] c_1 [/ math] es constante con respecto a Q1 pero podría ser una función de Q2.
También podemos integrar la segunda ecuación con respecto a Q2:
[math] \ pi (Q_2) = 80Q_2 – 10Q_2 ^ 2 – 5Q_1Q_2 + c_2 [/ math], donde [math] c_2 [/ math] es constante con respecto a Q2 pero podría ser una función de Q1.
Ahora las funciones [matemáticas] c_1 (Q_2) [/ matemáticas] y [matemáticas] c_2 (Q_1) [/ matemáticas] se determinan fácilmente.
[matemática] \ pi (Q_1, Q_2) = 113.75Q_1 – 10Q_1 ^ 2 + 80Q_2 [/ matemática] [matemática] – 10Q_2 ^ 2 – 5Q_1Q_2 + c [/ matemática], donde [matemática] c [/ matemática] es constante con respecto a Q1 y Q2. Dado 8.20, por supuesto [matemáticas] c = 20 [/ matemáticas].