Cómo encontrar la derivada de la derivada de una función con respecto a esa función

Answer 1

Cómo encontrar [matemáticas] \ frac {dy ‘} {dy} [/ matemáticas] es una pregunta más simple de responder. Puedes hacerlo usando la regla de la cadena
[math] \ frac {dy ‘} {dy} = \ frac {dy’} {dt} \ frac {dt} {dy} [/ math], donde [math] \ frac {dt} {dy} = \ frac {1} {\ frac {dy} {dt}} [/ math].

Una pregunta más fundamental es ¿qué significa la cantidad [matemática] \ frac {dy ‘} {dy} [/ matemática] y por qué necesitamos calcular eso?

Considere un sistema de ecuaciones diferenciales lineales o una ecuación diferencial de orden superior. Para simplificar, tomemos una ecuación diferencial de segundo orden o el sistema correspondiente de ecuaciones lineales

[matemáticas] X ‘= AX [/ matemáticas]
[matemáticas] x ‘= hacha + por [/ matemáticas]
[matemáticas] y ‘= cx + dy [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica \ overrightarrow {X ‘} =
\ begin {pmatrix}
a & b \\
discos compactos
\ end {pmatrix} \ overrightarrow {X} [/ math]

Las soluciones a las cuales serían de la forma [matemáticas] \ overrightarrow {X} = \ begin {pmatrix}
x (t) \\ y (t) \ end {pmatrix} [/ math]

Es fácil trazar y ver las soluciones en el caso 1D, pero en este caso nuestras soluciones son vectores y tanto [math] x (t) [/ math] como [math] y (t) [/ math] son ​​funciones de [ matemáticas] t [/ matemáticas]. Entonces, pensamos en la solución como puntos en el plano [matemático] xy [/ matemático], conocido como plano de fase.

Por ejemplo, tiene el sistema acoplado de ecuaciones: [matemáticas] x ‘= y [/ matemáticas] y [matemáticas] y’ = 2x [/ matemáticas], esto podría escribirse como [matemáticas] x ” = 2x [/ matemáticas ] y luego graficar [matemática] y ‘[/ matemática] vs [matemática] y [/ matemática], significa graficar [matemática] x [/ matemática] vs [matemática] y [/ matemática]. Por lo tanto, la derivada de [matemáticas] y ‘[/ matemáticas] con respecto a [matemáticas] y [/ matemáticas] se toma generalmente para obtener una relación entre [matemáticas] y’ ‘[/ matemáticas], [matemáticas] y’ [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] y porque es más fácil entender una gráfica [matemática] y ‘[/ matemática] vs [matemática] y [/ matemática] que una [matemática] y [/ matemática] vs [ math] t [/ math] plot.

Algunos ejemplos de comparación:
1) Curva de solución para [matemáticas] y ” – y = 0 [/ matemáticas]
2) Curva de solución para [matemática] y ” – 4y ‘+ 4y = 0 [/ matemática]

Answer 2

Si se siente más cómodo diferenciando con respecto a t, entonces use la regla de la cadena. En general, dx / dy = dx / dt * dt / dy.

En su caso, dy ‘/ dy = dy’ / dt * dt / dy = y ” / y ‘

Answer 3

Como sé, es posible calcular esta derivada:
Suponga que su función es y = sin (x), la derivada es y ‘= cos (x).
Ahora puede escribirlo de alguna manera como función de la función original (a veces es más fácil pero a veces no es posible), en este caso sería y ‘= sqrt (1-sin ^ 2 (x)) = sqrt (1-y ^ 2 )
o puede usar “fuerza brutal”: restrinja esa función a un intervalo aceptable y use la función inversa de la misma. Aquí sería x = arcsin (y)
entonces obtendrás y ‘= cos (arcsin (y))
de cualquier manera es importante eliminar todas las ocurrencias de x y luego solo tiene que diferenciar y ‘con respecto a y.

Si necesita ayuda con las ecuaciones de Euler-Lagrange, intente describir su problema un poco más.

Answer 4

Derivada de x con respecto a x = 1

Derivada de y con respecto a y = 1

Derivada de f (t) con respecto a f (t) = 1