La solicitud de una derivada evaluada en x = 0 sugiere usar la serie Taylor:
[matemáticas] f (x) = f (0) + xf ‘(0) + \ frac {1} {2!} x ^ 2f’ ‘(0) [/ matemáticas] [matemáticas] + \ frac {1} { 3!} X ^ 3f ” ‘(0) [/ matemáticas] [matemáticas] + \ frac {1} {4!} X ^ 4f’ ” ‘(0) +… [/ matemáticas]
Podemos calcular una expansión de serie para f (x) y compararla con la serie de Taylor. Esto nos dirá sobre los derivados.
Usaremos:
- Cómo calcular derivados
- ¿Qué es un gradiente?
- Cómo encontrar la derivada de la derivada de una función con respecto a esa función
- Cómo resolver esta ecuación de diferenciación parcial
- ¿Qué es exactamente integración y derivación?
[matemática] \ tan (x) = x + [/ matemática] [matemática] \ frac {1} {3} x ^ 3 [/ matemática] [matemática] +… [/ matemática]
[matemática] \ ln (1 + x) = x – [/ matemática] [matemática] \ frac {1} {2} x ^ 2 [/ matemática] [matemática] +… [/ matemática]
Entonces (ignorando los términos de orden superior en x):
[matemática] f (x) = x ^ 4 (x ^ 3 + [/ matemática] [matemática] \ frac {1} {3} x ^ 6 [/ matemática] [matemática] +…) -x (x ^ 2 – [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {1} {2} x ^ 4 [/ matemáticas] [matemáticas] +…) [/ matemáticas]
[matemática] f (x) = x ^ 4 (x ^ 3 [/ matemática] [matemática]) – x (x ^ 2 – [/ matemática] [matemática] \ frac {1} {2} x ^ 4 [/ matemáticas] [matemáticas]) +… [/ matemáticas]
[matemática] f (x) = [/ matemática] [matemática] -x ^ 3 + [/ matemática] [matemática] \ frac {1} {2} x ^ 5 + x ^ 7 +… [/ matemática]
Comparando este término por término con la serie Taylor, porque no hay término [matemático] x ^ 4 [/ matemático] en [matemático] f (x) [/ matemático], podemos ver que [matemático] f ” ” (0) [/ math] debe ser cero.