Definición : Una función f se llama diferenciable en un punto x0 si el límite [matemática] \ lim_ {x \ rightarrow x0} {\ frac {f (x0) -f (x)} {x0-x}} [/ matemática] existe
Definición : La derivada en el punto x0 de una función f que es diferenciable en x0 es el límite (límite superior).
La función que ha descrito no es diferenciable en x0 = 1 porque, como notó, el límite de derivada no converge. Esto significa que la derivada en x0 = 1 no está definida para f.
La función es diferenciable en todos los demás puntos de su dominio. Más precisamente, la derivada es 1 en cada punto. Si bien podemos calcular la derivada en esos puntos, no podemos hablar de una función derivada f ‘, porque esa función no se definiría en x = 1.
En cuanto a la interpretación, realmente no hay una buena. Hay innumerables interpretaciones diferentes que uno puede dar a la no diferenciabilidad, pero volver a la definición siempre es la mejor. En este caso, la interpretación alternativa más directa es que la función no es continua y, por lo tanto, ciertamente no es diferenciable. “Tasa de cambio” no significa mucho para un valor que salta de manera incontrolable e instantánea.
EDITAR: a la luz de la respuesta de Harsh Kumar Narula, debo especificar por qué los matemáticos puros prefieren decir f ‘como una función no existe, que decir que es 1 en todas partes e indefinido en 1. En primer lugar, de esta manera podemos suponer que un La función derivada siempre tiene el mismo dominio que la función original. Esto es útil básicamente en todos los teoremas que usan derivados. En segundo lugar, aquí hay un problema de límite borroso: para una función que no se puede diferenciar en todas partes, como la función de Thomae, no se puede definir muy bien su derivada como una función trivial f: {} -> R, porque dicho objeto no ‘ No tiene mucho sentido. Es preferible trazar la línea conservadoramente y decir que solo las funciones que son diferenciables en todas partes en su dominio tienen una función derivada.
Aunque tengo que decir que no cambia mucho en teoría matemática. Creo que comprender estos pequeños detalles hace la diferencia entre un buen matemático puro y alguien que solo usa las matemáticas.
- [matemáticas] f (x) = x ^ 4 \ tan x ^ 3 – x \ ln (1 + x ^ 2) [/ matemáticas] entonces el valor de la cuarta derivada de f (x) en x = 0 es?
- Cómo calcular derivados
- ¿Qué es un gradiente?
- Cómo encontrar la derivada de la derivada de una función con respecto a esa función
- Cómo resolver esta ecuación de diferenciación parcial
