Un método común para definir poderes no racionales es en términos de las funciones exponenciales y logarítmicas. Por supuesto, esos deben definirse primero. Si lo son, entonces puedes definir
[matemáticas] a ^ b = e ^ {b \ log a} [/ matemáticas]
donde [math] \ log a [/ math] denota el logaritmo natural de [math] a. [/ math]
Para hacer esa definición en primer lugar, debes saber que está de acuerdo con la definición anterior cuando el poder es un número racional [matemática] b = m / n, [/ matemática] es decir, debes demostrar que
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- [matemáticas] f (x) = x ^ 4 \ tan x ^ 3 – x \ ln (1 + x ^ 2) [/ matemáticas] entonces el valor de la cuarta derivada de f (x) en x = 0 es?
[matemáticas] \ displaystyle \ sqrt [n] {a ^ m} = e ^ {m (\ log a) / n} [/ math]
Una vez que se hace esa definición, y conoce las derivadas de [math] e ^ x [/ math] y [math] \ log x, [/ math] entonces puede mostrar que [math] \ frac {d} {dx} x ^ n = nx ^ {n-1} [/ math] usando la regla de la cadena:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d} {dx} x ^ n = \ frac {d} {dx} e ^ {n \ log x} = e ^ {n \ log x} \, \ frac {n} { x} = \ frac {nx ^ n} {x} = nx ^ {n-1} [/ math]