¿Qué entiendes de Curl y Div de un campo vectorial F?

Answer 1

Digamos que estás jugando Temple Run (o cualquier juego equivalente en tu teléfono).

Ahora, en el juego Temple Run, tu personaje se escapa de la bestia que te persigue. En el medio obtienes monedas de oro como se muestra en la imagen aquí. Una vez que acumulas suficientes puntos, tocas un botón en la esquina superior izquierda y tu velocidad se duplica. ¿Derecho?

Ahora, Temple Run es una especie de juego tridimensional y solo por simplicidad lo ponemos en 1 dimensión. Entonces su trama se verá así.

A medida que su personaje corriendo alcanza el punto 1 (color rojo) en el eje X, tiene suficientes puntos para que su velocidad aumente en un valor de 0.5 m / s.

Luego llegas al punto 2 (color naranja) y tu personaje aumenta la velocidad nuevamente y aumenta en 1 m / s.

En el punto 4 (Verde) se convierte en el doble de su velocidad original y en el punto 8 (Azul) se convierte en 4 veces su velocidad.

¿Ves alguna relación entre el punto y la velocidad?

Punto 1: 0.5 m / s
Punto 2: 1 m / s
Punto 4: 2 m / s
Punto 8: 4 m / s

Ahora, el campo de fuerzas está en X-Direction. Eso significa que en cada punto del eje empuja a tu personaje a correr rápido. Digamos que el campo está definido por

Vector V = 0.5 x (solo 1 dimensional).

Si sustituye los valores de X puntos en la ecuación del campo vectorial, obtendrá los valores de velocidad en cada punto. Multa. Entonces, ¿dónde diablos está la divergencia en esto?

La divergencia se define matemáticamente como un operador vectorial que mide la magnitud de la fuente o el sumidero de un campo vectorial en un punto dado, en términos de un escalar con signo. (Wikipedia)

Podemos ver que la velocidad aumenta en 0.5 m / s en cada punto.
A 1: o.5 m / s
2: 1 m / s
3: 1,5 m / s
4: 2 m / s
5: 2.5 m / s
6: 3 m / s
7: 3,5 m / s
8: 4 m / s

y así…

Eso significa que si nuestro campo de Velocidad es tal que la velocidad aumenta en cada punto en 0.5 m / s, entonces necesitamos tener algo que pueda significarlo. ¿Derecho?

Y ahí es donde entra en juego la divergencia.

Divergencia del campo vectorial mencionado anteriormente.

Vector V = 0.5 X

Entonces, si encuentra una derivada parcial de un campo dado, diferencie (0.5 X) con respecto a X y obtenga la respuesta como 0.5.

Esta respuesta 0.5 muestra que la velocidad aumenta en cada punto en 0.5.

¿Entendido?

Ahora, ¿cuál es el significado de div V = 0?

Eso significa que la velocidad no aumentará en ningún momento. En otro significado físico, si el agua entra en la caja desde la pared lateral izquierda a 5 m / sy si sale a la misma 5 m / s (siempre que la velocidad no cambie entre los puntos), entonces puede decir que div V = 0. (es decir, sin ganancia de velocidad y sin pérdida de velocidad).

Mira mi explicación de Curl of a Vector Field aquí.
La respuesta de Nikhil Patel a ¿Cuál es el significado práctico del rizo de un campo vectorial?

Answer 2

Esta será una gran respuesta si lo supero … preguntaste sobre seis preguntas diferentes.

Todos estos conceptos son extremadamente geométricos, y es una lástima que no se les enseñe de esa manera.

Cualquier matriz (cuadrada) es una transformación en vectores: [math] \ mathbf {A} x = y [/ math]. En n dimensiones, el vector x es una combinación lineal de n vectores básicos, y dado que la multiplicación de matrices es lineal, puede averiguar qué hace A a x por la suma de lo que hace a cada vector base.

Imagine que comienza con los vectores base x, y y z, cada uno en ángulo recto entre sí. La aplicación de la matriz toma esas tres líneas y las coloca en algún lugar del espacio. Podría estirarlos en cualquier dirección, incluso de manera desigual. Podría girarlos uno alrededor del otro o invertir uno. Podría aplanar a los tres en un avión. Puede eliminar dos y simplemente dejar el último. Puede eliminar los tres. Podría rotarlos sin cambiar su longitud en absoluto. Puede estirarse uno por 2x y dejar a los otros dos iguales. Podría rotar los tres.

El determinante es un escalar que envuelve todas estas cosas, y puede ser extremadamente intuitivo. Si comienza con x, y, z, el determinante de A es el volumen con signo del paralelogramo después de la transformación. “Los volúmenes firmados son como volúmenes regulares, pero si reflejas el mundo, se vuelven negativos.

Veamos la lista de arriba …

• Podría estirarlos en cualquier dirección, incluso de manera desigual. ( det A = cualquier cosa)

• Podría invertir una dirección. ( det A = -1 – el paralelogramo tiene la orientación opuesta)

• Podría aplanar a los tres en un avión. ( det A = 0. Es una ‘proyección’ en el plano. A es singular , también conocido como no invertible . Retiró una dimensión, ¿cómo podría invertirla? Si tomó un vector en el plano, no tiene idea de qué hacer. volver a mapearlo; perdió una dimensión de información).

• Puede eliminar dos y simplemente dejar el último. ( det A = 0 , proyectó en una línea)
• Puede eliminar los tres. (A = 0)
• Podría rotarlos sin cambiar su longitud en absoluto. ( det A = 1, es una rotación y no cambia el volumen en absoluto)
• Puede estirarse uno por 2x y dejar a los otros dos iguales. (det A = 2 , el volumen se duplicó )
• Podría rotar los tres. ( det A = 1 , las rotaciones no cambian el volumen).

Y por cierto:
Se pueden componer dos transformaciones y cambian los volúmenes multiplicando las cantidades ( det AB = det A det B ).
Y, por supuesto, invertir una transformación deshace la transformación del volumen. ([matemática] det A ^ {- 1} = (det A) ^ {- 1} [/ matemática]).

Eso está bien.
… ahora, avancemos más. Estoy un poco glosando aquí porque esto es bastante complicado con cualquier tipo de rigor.

0. Supongamos que tienes un escalar.
1. Y tienes tres vectores.
2. Luego tomas su “producto de cuña” , [matemática] a \ cuña b [/ matemática], para obtener tres bivectores . ¿Qué demonios es un bivector? Por qué, es un “vector de área”. Cuando tomas el producto cruzado de los lados de un parallograma y el resultado es un ‘vector de área apuntando hacia arriba’, eso es realmente un bivector. No es exactamente lo mismo. Por qué no?

Suponga que gira sus ejes para que cada vector se convierta en la versión negativa de sí mismo. Has realizado una ‘inversión espacial’, una especie de transformación discreta. Todos sus vectores se vuelven negativos: [math] x \ rightarrow -x [/ math]. Pero todos tus bivectores permanezca igual: [matemáticas] b \ rightarrow b [/ matemáticas]. Así que confía en mí: hay algo diferente en los bivectores. Si no me crees, sácalo.

Los bivectores se llaman ‘ pseudovectores ‘ en física porque actúan de manera diferente. Estos son su momento angular y cosas así, cualquier cosa que provenga de un producto cruzado.

“Técnicamente hablando”, el producto cruzado es:
[matemáticas] a \ veces b = * (a \ cuña b) [/ matemáticas]. Toma el producto de cuña para obtener un bivector, y luego lo mapea de nuevo a un vector usando otra operación funky llamada Hodge Star. Pero no te preocupes por eso …

3. Puede realizar un nivel más de producción de cuñas: tome el producto de cuña de un vector y un bivector. Si no están en el mismo plano, tienes tres lados y obtienes un volumen orientado , como mencioné anteriormente. Este es tu volumen de paralloedro. Este es su producto triple , [math] a \ cdot b \ times c [/ math]. Este es el determinante de la matriz con a, byc como columnas.

En física lo llamamos pseudoescalar . Es muy parecido a un escalar, excepto que si inviertes el espacio, cambia su signo.

Oof, esto es largo. Trataré de regresar y golpear gradiente, divergencia y rizo más tarde. (pista, todos son lo mismo. Al igual que la divergencia, los teoremas de Green y Stokes …).

Answer 3

Det erminante (contracción / ampliación)

Rizo (rotación)

Divergencia (sumidero / fuente)

¿Por qué debería importarme div y curl?

Descomposición de Helmholtz

cualquier campo vectorial suficientemente suave y en descomposición rápida en tres dimensiones se puede resolver en

la suma de

• un campo vectorial irrotacional (sin rizos) y
• un campo vectorial solenoidal (sin divergencia);

Esto se conoce como la descomposición de Helmholtz .

Esto implica que cualquier campo vectorial F puede considerarse generado por un par de potenciales: un potencial escalar φ y un potencial vectorial A.

Answer 4

Si del (el triángulo invertido) es el operador de vector derivada parcial, entonces
Rizo de F = del x F (producto cruzado)
Div de F = del. F (producto de punto)