¿Cómo se prueba la regla de diferenciación del producto?

Answer 1

Usando límites

La prueba habitual tiene el truco de sumar y restar un término, pero si ves de dónde viene, ya no es un truco.

Suponga que tiene el producto [matemática] f (x) g (x) [/ matemática] y desea calcular su derivada. Ese es el limite

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {h \ to0} \ frac {f (x + h) g (x + h) -f (x) g (x)} {h} [/ matemáticas]

No es obvio a dónde ir desde allí. El numerador

[matemáticas] f (x + h) g (x + h) -f (x) g (x) [/ matemáticas]

es una diferencia que implica que [matemática] x [/ matemática] cambie a [matemática] x + h [/ matemática] tanto para [matemática] f [/ matemática] como [matemática] g [/ matemática]. Necesitamos aislar el cambio para [math] f [/ math] del cambio para [math] g [/ math].

Míralo geométricamente donde [math] f [/ math] y [math] g [/ math] representan longitudes y su producto [math] fg [/ math] representa un área. (Para fines heurísticos, suponga que son funciones positivas y crecientes).

En [matemáticas] x + h [/ matemáticas] tienes rectángulos más grandes. El numerador [matemático] f (x + h) g (x + h) -f (x) g (x) [/ matemático] es la diferencia entre los rectángulos más grande y más pequeño, es decir, es la suma de los tres áreas etiquetadas A, B y C.

Reescribe el numerador como la suma de tres términos, uno para las áreas de A, B y C:

[matemáticas] (f (x + h) -f (x)) g (x) [/ matemáticas]
[matemáticas] + \; f (x) (g (x + h) -g (x)) [/ matemáticas]
[matemáticas] + \; (f (x + h) -f (x)) (g (x + h) -g (x)) [/ matemáticas]

Luego divida cada término entre [matemáticas] h [/ matemáticas] y tome el límite como [matemáticas] h \ to0 [/ matemáticas].

El primer término lleva a [matemáticas] f ‘(x) g (x) [/ matemáticas], el segundo a [matemáticas] f (x) g’ (x) [/ matemáticas], y el tercero a 0. Por lo tanto, la derivada es igual a [matemáticas] f ‘(x) g (x) + f (x) g’ (x) [/ matemáticas].

La prueba de que el tercer término se convierte en 0 cuando toma el límite requiere una observación especial. Tenga en cuenta que

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {h \ to0} \ frac {(f (x + h) -f (x)) (g (x + h) -g (x))} {h} [/ matemáticas]
= [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {h \ to0} \ frac {f (x + h) -f (x)} {h} \ lim_ {h \ to0} (g (x + h) -g (x) )[/matemáticas]

El primer límite en el producto es [matemática] f ‘(x) [/ matemática], pero el segundo es 0 ya que suponemos que [matemática] g [/ matemática] es diferenciable, por lo tanto, continua.

Infinitesimales

También puede probar la regla del producto para diferenciales

[matemáticas] d (uv) = u \, dv + v \, du [/ matemáticas]

usando el mismo diagrama. Reemplace la expresión [math] f (x + h) -f (x) [/ math] por [math] du [/ math] y la expresión [math] g (x + h) -g (x) [/ math ] por [math] dv [/ math]. El área C con valor [math] du \, dv [/ math] no contribuirá en nada al diferencial ya que es producto de diferenciales de primer orden.

Answer 2

Hay una prueba un poco más corta, pero no es atractiva para la geometría. Y es solo un poco más corto. Daré un poco de intuición, pero no es fácil si ves límites por primera vez.

La prueba real es corta, porque se ajusta al área de “cálculo” de esta página, pero todas las respuestas a la pregunta usan algunos lemas, ya sea que se mencionen o no. Además, quiero dar una idea de lo que piensan las personas cuando eligen hacer ciertos trucos numéricos que parecen “mágicamente” resolver el problema.

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Lemas

Lema 1: toda función diferenciable es continua. Esta es una prueba más fácil que utiliza algunas de las mismas ideas. También es un hecho conocido que debe utilizarse en la prueba de la regla del producto.

Lemas 2 y 3: Límite de suma, límite de producto. La regla para el límite del producto (# 3 en el enlace) es la más difícil de las tres, y Lemma 1 también se basa en ella. Es posible que desee asumir que es cierto por ahora y tal vez volver más tarde. También necesita agregar la regla de límites (# 2). Ambas reglas están haciendo un trabajo duro “detrás de escena”, pero ambas son algo creíbles si solo quieres usar las definiciones básicas con imágenes por ahora.

Cualquier prueba de la regla del producto para las derivaciones generalmente equivale a reorganizar la cantidad en piezas del tamaño de un bocado y apelar a estos lemas, que son tan ampliamente utilizados que a menudo se usan sin mencionar que se está haciendo.

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Prueba de la regla del producto:

Idea:

Queremos [matemáticas] \ lim_ {h \ a 0} \ frac {f (x + h) g (x + h) -f (x) g (x)} {h} [/ matemáticas].

Divide el numerador para obtener no una cantidad cambiante, sino dos. El problema es que tenemos dos términos en el numerador, y tanto [math] f [/ math] como [math] g [/ math] cambian entre ellos. Sería más simple si solo una de las funciones cambiara entre cada término. Podemos lograr esto sumando y restando un término intermedio que divide la diferencia entre ellos.

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Cálculo:

[matemáticas] f (x + h) g (x + h) -f (x) g (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] = f (x + h) g (x + h) -f (x + h) g (x) + f (x + h) g (x) -f (x) g (x) [/ matemáticas ]

Por lo tanto

[matemáticas] \ frac {f (x + h) g (x + h) -f (x) g (x)} {h} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {f (x + h) g (x + h) -f (x + h) g (x)} {h} + \ frac {f (x + h) g (x) -f (x) g (x)} {h} [/ matemáticas]

[matemáticas] = f (x + h) \ frac {g (x + h) -g (x)} {h} + g (x) \ frac {f (x + h) -f (x)} {h }[/matemáticas]

Para finalizar la prueba, debe reconocer cuatro límites y reglas diferentes. Los tres lemas se usan al menos una vez.

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Aplicación de lemas al problema:

Esto depende de ti.

Answer 3

(Si alguien quiere arreglar el horrible procesamiento de TeX de Quora, sería maravilloso).

La regla del producto se deriva de la siguiente manera:

[matemáticas] \ dfrac {d (f (x) \ veces g (x))} {dx} = [/ matemáticas] [matemáticas] \ lim_ {h \ a 0} \ dfrac {f (x + h) g ( x + h) – f (x) g (x)} {h} = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lim_ {h \ a 0} \ frac {f (x + h) g (x + h) – f (x + h) g (x) + f (x + h) g (x) – f (x) g (x)} {h} = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lim_ {h \ a 0} \ frac {f (x + h) \ left (g (x + h) – g (x) \ right) + g (x) \ left (f (x + h) ) – f (x) \ right)} {h} = [/ math]

[matemáticas] \ lim_ {h \ a 0} \ frac {f (x + h) \ left (g (x + h) – g (x) \ right) + g (x) \ left (f (x + h) ) – f (x) \ right)} {h} = [/ math]

[matemáticas] \ lim_ {h \ a 0} f (x + h) \ frac {g (x + h) – g (x)} {h} + \ lim_ {h -> 0} g (x) \ frac {f (x + h) – f (x)} {h} = [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) g ‘(x) + f’ (x) g (x) [/ matemáticas]

La regla del cociente es el resultado de combinar la regla de la cadena y la regla del producto.

Answer 4

Podemos probar la regla del producto utilizando los primeros principios. La derivada de una función se define como

[matemáticas]
\ frac {d} {dx} f (x) = \ lim_ {h \ to0} \ frac {f (x + h) – f (x)} {h}
[/matemáticas]
Para un producto de funciones, tenemos
[matemáticas]
\ frac {d} {dx} [f (x) g (x)]
[/matemáticas]
[matemáticas]
= \ lim_ {h \ to0} \ frac {f (x + h) g (x + h) – f (x) g (x)} {h}
[/matemáticas]
[matemáticas]
= \ lim_ {h \ to0} \ frac {(f (x + h) g (x + h) – f (x) g (x + h)} {h}
[/matemáticas]
[matemáticas]
+ \ lim_ {h \ a 0} \ frac {f (x) g (x + h) – f (x) g (x)} {h}
[/matemáticas]
[matemáticas]
= \ lim_ {h \ to0} \ left (\ frac {f (x + h) -f (x)} {h} \ right) g (x + h) [/ math] [math] + f (x) \ lim_ {h \ to0} \ frac {g (x + h) – g (x)} {h}
[/matemáticas]
[matemáticas]
= f ‘(x) g (x) + f (x) g’ (x)
[/matemáticas]

Answer 5

En mi respuesta, usaré [math] \ dfrac {dy} {dx} [/ math].

1. Sea [math] y = uv – 1 [/ math]

2. Agregue términos con delta con cada lado:

[matemática] y + δy = (u + δu) (v + δv) – 2 [/ matemática]

3. Menos la ecuación 2 con 1:
[matemáticas] y + δy-y = (u + δu) (v + δv) -uv [/ matemáticas]

4. Expanda los corchetes:

[matemáticas] δy = uv + uδv + vδu + δuδv-uv [/ matemáticas]

5. Resuelve algebraicamente:

[matemáticas] δy = uδv + vδu + δuδv [/ matemáticas]

6. Divide ambos lados con [matemáticas] δx [/ matemáticas] y aplica el límite

[matemáticas] \ lim_ {δx \ a 0} \ dfrac {δy} {δx} = u * \ lim_ {δx \ a 0} \ dfrac {δv} {δx} + v * \ lim_ {δx \ a 0} \ dfrac {δu} {δx} + \ lim_ {δx \ to 0} \ dfrac {δuδv} {δx} [/ math]

El teorema fundamental para la diferenciación es [math] \ dfrac {dy} {dx} = \ lim_ {δx \ to 0} \ dfrac {δy} {δx} [/ math]. Entonces,

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = u \ dfrac {dv} {dx} + v \ dfrac {du} {dx} [/ math].

Answer 6

cuando h es muy pequeño, calcule la limitación de {[f (x + h) g (x + h) -f (x + h) g (x) + f (x + h) g (x) -f (x) g (x)] / h} puede obtener la formulación. muy fácil sumando y restando un término.

Answer 7

Diferenciación de los primeros principios:

Mathworld: Regla del producto
wikilibros: pruebas de cálculo / reglas de producto y cociente

(Por supuesto, para que la derivada se defina en un punto, esto requiere que ambas funciones f, g sean diferenciables, por lo que existen ambos términos límite)

Answer 8

Me gusta la siguiente prueba, pero es necesario comprender los bits que he puesto al principio o todo parece gimnasia matemática.