¿Cómo puede explicar el hecho de que e ^ x es igual cuando se diferencia o integra mediante la interpretación geométrica del cálculo?

Answer 1

Advertencia: se presenta una explicación intuitiva.

Con Wolfram Alpha, puede trazar d / dx (4 ^ x), 4 ^ x, d / dx (3 ^ x), 3 ^ x, 2 ^ x, d / dx (2 ^ x) para x = -3 a 5, y la salida se muestra a continuación:

Observe cómo la curva para [math] \ frac {d} {dx} 4 ^ x [/ math] está por encima de la de [math] 4 ^ x [/ math], y del mismo modo [math] \ frac {d} {dx } 3 ^ x [/ math] está por encima de [math] 3 ^ x [/ math], pero no tanto. Pero [math] \ frac {d} {dx} 2 ^ x [/ math] está por debajo de [math] 2 ^ x [/ math].

Por lo tanto, es lógico pensar que en algún lugar entre 2 y 3, hay un número K en el que la curva para [matemáticas] \ frac {d} {dx} K ^ x [/ matemáticas] es igual a la de [matemáticas] K ^ x [/matemáticas]. Llame a ese número [matemáticas] e [/ matemáticas].

Tenga en cuenta que ni siquiera necesita Wolfram Alpha para que lo ayude a ver esto, ya que puede estimar gráficamente las derivadas y ver el mismo patrón.

Answer 2

Una cosa que puede hacer es primero definir el logaritmo natural en términos de área bajo la hipérbola y = 1 / x, luego definir la función exponencial como la función inversa al registro natural.

Primero defina

[matemáticas] \ log b = \ int_1 ^ b \ frac {1} {x} \; dx [/ math]

para valores positivos de [math] b [/ math].

Entonces [math] \ log 1 = 0 [/ math], y la derivada de [math] \ log x [/ math] es [math] 1 / x [/ math]. Estas dos propiedades caracterizan la función logaritmo, por lo que puede probar todas las propiedades habituales de los registros a partir de ellas.

Como [math] \ log x [/ math] es una función creciente, por lo tanto tiene una inversa, denotada [math] e ^ x [/ math]. El teorema de la función inversa para derivadas implica que la derivada de [math] e ^ x [/ math] es en sí [math] e ^ x [/ math] de la siguiente manera. Deje [math] y = e ^ x [/ math]. Entonces [math] x = \ log y [/ math], y [math] \ dfrac {dx} {dy} = \ dfrac d {dy} \ log y = 1 / y [/ math], entonces

[matemáticas] \ dfrac d {dx} e ^ x = \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac1 {dx / dy} = \ dfrac1 {1 / y} = y = e ^ x [/ matemáticas].

Dado que la derivada de [matemática] F (x) = e ^ x [/ matemática] es [matemática] f (x) = e ^ x [/ matemática], por lo tanto, la antiderivada de [matemática] f (x) [/ matemática ] es [matemáticas] F (x) [/ matemáticas], es decir, la antiderivada de [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] también es [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas].

También se pueden mostrar todas las propiedades habituales de [math] e ^ x [/ math].

Answer 3

Si elimina la palabra “geométrico” de la pregunta, he respondido esto aquí:

La respuesta de Daniel McLaury a ¿Qué aplicaciones hay para el número e de Euler, además de los intereses?

Agregar la palabra “geométrico” es problemático. No conozco una forma de dar un significado geométrico concreto a la condición [matemática] y ‘= y [/ matemática], ya que geométricamente el valor de una función y la pendiente de su línea tangente no están directamente relacionados, por ejemplo , si [math] y [/ math] tuviera unidades de centímetros, entonces [math] y ‘[/ math] podría tener unidades de centímetros por segundo, y la ecuación se vería así
[matemáticas] y ‘= (1 \ texto {Hz}) y [/ matemáticas]

en lugar. Es decir, el número 1, que define la propiedad especial del número [math] e [/ math], ya no es especial, en cuyo caso [math] e [/ math] tampoco es especial.

Creo que lo mejor que podría hacer geométricamente sería explicar por qué las funciones exponenciales en general son proporcionales a sus derivadas.

EDITAR: Tenga en cuenta que esto no está en desacuerdo con la respuesta de David Joyce a ¿Cómo puede explicar el hecho de que e ^ x es el mismo cuando se diferencia o integra utilizando la interpretación geométrica del cálculo ?; él hace esta elección arbitraria al principio cuando selecciona la función [matemática] f (x) = 1 / x [/ matemática] entre las hipérbolas alineadas con el eje.