¿Cómo se prueba la regla del cociente de diferenciación?

Answer 1

En el cálculo, la regla del cociente es un método para encontrar la derivada de una función que es el cociente de otras dos funciones para las cuales existen derivadas.
Si la función se desea diferenciar,
, Se puede escribir como
y
, entonces la regla establece que la derivada de
es

Prueba:

Comencemos con la definición de una derivada.

Se encontró un denominador común para el numerador y luego la h se volteó y se llevó al fondo. (Recuerde cuando se dividen dos fracciones, multiplique por el recíproco).

Ahora, factorizar
del denominador

Ahora, como con la prueba de la regla del producto, tenemos que hacer algo de magia. Restar y sumar
al numerador y al denominador. Hacer esto produce:

Recuerde que el límite de un producto es un producto de los límites. Usando este hecho, obtenemos:

.
Ahora, divide el segundo límite en dos partes porque el límite de una suma es la suma de los límites.

Factorizando a g ( x ) desde el segundo límite y a – f ( x ) desde el tercer límite, obtenemos:

Ahora, por la propiedad de los límites, tenemos lo siguiente:

Finalmente, juntando todo esto, tenemos:

Fuente: http: //www.math.ucsd.edu/~wgarne… y http://en.wikipedia.org/wiki/Quo…

Answer 2

Podemos usar la regla de la cadena [1] y la diferenciación implícita [2], dejando que [math] y = [/ math] [math] \ dfrac {f (x)} {g (x)} [/ math]:

[matemáticas] \ ln y = \ ln f (x) – \ ln g (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} (\ ln y = \ ln f (x) – \ ln g (x)) [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {1} {y} \ cdot \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {1} {f (x)} \ cdot f ‘(x) – \ dfrac {1} {g (x )} \ cdot g ‘(x) [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = y \ cdot \ dfrac {f ‘(x)} {f (x)} – y \ cdot \ dfrac {g’ (x)} {g (x)} [ /matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {f ‘(x)} {g (x)} – \ dfrac {f (x) g’ (x)} {g ^ 2 (x)} [ /matemáticas]

Encontrar un denominador común:

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {f ‘(x) g (x)} {g ^ 2 (x)} – \ dfrac {f (x) g’ (x)} {g ^ 2 (x)} [/ matemáticas]

[matemática] \ boxed {\ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {f ‘(x) g (x) – f (x) g’ (x)} {g ^ 2 (x)}} [/ math ]

Notas al pie

[1] La respuesta de Finn Frankis a ¿Cuál es la regla de la cadena de diferenciación?

[2] La respuesta de Finn Frankis a ¿Qué es la diferenciación implícita?

Answer 3

Puede combinar la regla del producto, la regla de la cadena y la regla de potencia.

[matemáticas] y = \ dfrac {f (x)} {g (x)} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = f (x) [g (x) ^ {- 1}] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = f ‘(x) [g (x) ^ {- 1}] + f (x) [\ dfrac {d} {dx} g (x) ^ {- 1 }][/matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = f ‘(x) [g (x) ^ {- 1}] + f (x) [(- 1) g (x) ^ {- 2} g’ ( x)] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {f ‘(x)} {g (x)} – \ dfrac {f (x) g’ (x)} {g (x) ^ 2} [ /matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {f ‘(x) g (x)} {g (x) ^ 2} – \ dfrac {f (x) g’ (x)} {g ( x) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {f ‘(x) g (x)} {g (x) ^ 2} – \ dfrac {f (x) g’ (x)} {g ( x) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {f ‘(x) g (x) – f (x) g’ (x)} {g (x) ^ 2} [/ matemáticas]

Answer 4

Obviamente: [math] \ frac {\ mathrm {d} g} {\ mathrm {d} x} = \ frac {\ mathrm {d} g} {\ mathrm {d} z}. \ Frac {\ mathrm {d } z} {\ mathrm {d} x} [/ math]

Deje: [matemáticas] g = \ frac {1} {f} | z = f [/ matemáticas]
Entonces: [matemáticas] \ frac {\ mathrm {d} \ frac {1} {f}} {\ mathrm {d} x} = \ frac {\ mathrm {d} \ frac {1} {f}} {\ mathrm {d} f}. \ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x} = – \ frac {1} {f ^ {2}}. \ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x} = – \ frac {f ‘} {f ^ {2}} [/ math]

Usando la regla del producto: [math] \ frac {\ mathrm {d} \ frac {f} {g}} {\ mathrm {d} x} = f ‘\ frac {1} {g} + f (\ frac { 1} {g}) ‘= \ frac {f’} {g} – \ frac {fg ‘} {g ^ {2}} [/ math]

Answer 5

La prueba “más bonita” que he visto es la diferenciación logarítmica.
Deje [math] y = \ frac {f} {g} [/ math]
Tomar en ambos lados.
[matemáticas] \ ln y = \ ln \ frac {f} {g} = \ ln f – \ ln g [/ matemáticas]
Tome la derivada (implícitamente) de ambos lados.
[matemáticas] \ frac {y ‘} {y} = \ frac {f’} {f} – \ frac {g ‘} {g} [/ matemáticas]
Multiplica ambos lados por y (que es [matemática] \ frac {f} {g} [/ matemática] _)
Obtenemos [matemáticas] y ‘= \ frac {f} {g} (\ frac {f’} {f} – \ frac {g ‘} {g}) = \ frac {f’g-g’f} { g ^ 2} [/ matemáticas].

Answer 6

La siguiente es la forma más simple que conozco.
La regla del cociente es solo una extensión de la regla del producto.
f (x) = g (x) / h (x)
diferenciar ambos lados wrt x aplicar la regla del producto para RHS para el producto de dos funciones g (x) y 1 / h (x)
d / dx f (x) = d / dx [g (x) * {1 / h (x)}]
y simplifica un poco y terminas con la regla del cociente.