Álgebra lineal: si un operador diferencial es local en el espacio, ¿es diagonal en posición?

Answer 1

No estoy exactamente seguro de cuál es su definición de “local” aquí. En el caso del operador de impulso [math] \ hat {p} [/ math], por ejemplo, encontramos que el elemento de la matriz en posición es
[matemáticas] \ langle y | \ hat {p} | x \ rangle = -i \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ delta (xy) = \ hat {p} \ delta ( xy), [/ matemáticas]
que es exactamente como la condición que impuso a su operador [math] \ hat {L} [/ math]. Sin embargo, el operador de impulso obviamente no es diagonal en la base de la posición. Si lo fuera, entonces podría diagonalizar ambos operadores simultáneamente. Esto es equivalente a decir que los operadores de posición e impulso conmutan , lo que obviamente no es cierto.

Compare esto con el elemento de matriz del operador de posición [math] \ hat {x} [/ math] en la base de posición:
[matemáticas] \ langle y | \ hat {x} | x \ rangle = x \ delta (xy) [/ math]
Claramente, esto es cero cuando [math] x \ ne y [/ math], porque [math] x [/ math] es solo un número y la función delta es cero.

Sin embargo, no podemos decir lo mismo para el elemento matriz del operador de momento; no necesariamente es igual a cero, ya que involucra la derivada de la función delta. Entonces, primero tiene que ponerlo dentro de una integral con alguna otra función de “prueba”, y ver qué sale. (Esto generalmente implica la integración por partes, para mover la derivada de la función delta a la otra función).