¿Cuáles son las ventajas (desventajas) de los métodos de elementos finitos sobre los métodos de diferencias finitas para resolver problemas de perturbación singulares como los sistemas de difusión de reacción?

Answer 1

No trabajo con problemas de perturbación singulares, o directamente con reacción-difusión, pero puedo dar una idea general de por qué los elementos finitos podrían ser más apropiados:

Descargo de responsabilidad: soy una persona de elementos finitos y son la mayor parte de mi investigación. Sería bueno tener un punto de vista de diferencias finitas en esto también.

1. Algunas ventajas teóricas
Estabilidad: los métodos de elementos finitos funcionan muy bien en los sistemas de difusión en general, y los resultados de buena postura (esencialmente estabilidad) son muy fáciles de establecer. Es útil saber de antemano, ya que generalmente significa que no tendrá que imponer un refinamiento de malla restrictivo antes de obtener un sistema no singular. (Compare con diferencias finitas, donde la estabilidad puede ser difícil de establecer incluso en presencia de un operador de difusión). En el caso de que el término de reacción lo haga menos simple, considere un método discontinuo de elementos finitos, que incluye términos de estabilización que a menudo ayudan.

Convergencia: la convergencia de un método de elementos finitos generalmente es gratuita una vez que se ha establecido la estabilidad, ya que las formas variacionales casi siempre son consistentes con las ecuaciones de gobierno. Además, la calidad de su aproximación generalmente se deriva de los mejores resultados de aproximación fácilmente establecidos.

Adaptabilidad: el marco variacional de los métodos de elementos finitos también es muy susceptible de estimación de error a posteriori. Todavía no es fácil en todos los casos, pero hay algunos enfoques altamente generalizados que casi siempre dan al menos un estimador útil que se puede usar para decirle dónde refinar su malla (y dónde no). Esto es muy difícil de lograr en un método de diferencia finita, en el que generalmente tiene que depender de indicadores en lugar de estimadores (para que le digan dónde podría estar el error, pero no dónde está realmente)

2. Algunas ventajas computacionales

Hibridación: escribir el término de segundo orden como un sistema de dos términos de primer orden (la denominada formulación mixta), y luego incluir explícitamente los términos de acoplamiento en su formulación permite una buena técnica conocida como “condensación estática” y el proceso general de hacer esto se llama “hibridación”. Esto le permite resolver un sistema mucho más pequeño para algunos grados de libertad, y luego resolverlos generalmente es un segundo paso barato. El acoplamiento en diferencias finitas generalmente no es apto para este tipo de manipulación.

versiones hp: los métodos de elementos finitos permiten de forma muy natural el uso de un orden de aproximación variable en cada elemento. Cuanto mayor sea su orden de aproximación, más óptimo será su método (pero solo es aplicable en regiones donde la solución tiene una mayor regularidad). Aún así, si tiene algún conocimiento previo de la regularidad de la solución, esto puede mejorar dramáticamente su tiempo de ejecución y uso de memoria. En el mejor de los casos, puede lograr una convergencia “exponencial” o “espectral”, que es esencialmente la convergencia más rápida posible que puede obtener. Esto es difícil de hacer a nivel local con métodos de diferencia finita, a menudo vienen en un orden de aproximación de talla única que no se puede cambiar, excepto cambiar todo el esquema.

3. Ventajas de flexibilidad

Inhomogeneidad: los métodos de elementos finitos explican de manera más natural la falta de homogeneidad en los problemas, donde incluirlos en su formulación generalmente solo significa que tiene que usar reglas de cuadratura de orden superior, y luego sigue la estabilidad siempre que use la cuadratura “correcta” (depende del problema). Los métodos de diferencias finitas generalmente tienen que usar condiciones de interfaz complicadas para lograr lo mismo, pero en elementos finitos es gratis.

Geometrías complejas: siempre que tenga un buen generador de malla, en teoría puede resolver su sistema en casi cualquier geometría en métodos de elementos finitos con cero cambios en su código.

Condiciones de contorno: se pueden imponer muy fácilmente en un método de elementos finitos, e incluso podría recurrir al uso de “condiciones de contorno débiles” si no es obvio cómo hacerlo “fuertemente”

Algunas desventajas

Todo lo que dije que diría que la razón por la cual las personas investigan métodos de elementos finitos es porque son un martillo masivo que hace que cada problema sea un clavo. Son altamente flexibles en su teoría y en su implementación. Sin embargo, hay algunos problemas:

Contaminación: si su término de reacción es R (q) = k * q, entonces tiene un sistema parecido a la ecuación de Helmholtz. Para “k” grande, el análisis estándar de los métodos de elementos finitos no arroja resultados útiles, lo que a menudo conduce a errores de “contaminación”. Hay algunas formas de mejorar esto, pero esta sigue siendo un área activa de investigación. En términos más generales, esto significa que un término de reacción no lineal que conduce a un gran jacobiano probablemente tendrá los mismos problemas que la ecuación de Helmholtz. Esto significa que probablemente tendría que utilizar algunos métodos de elementos finitos más avanzados (usar métodos de orden muy alto debería ser el truco).

Paralelismo: también los patrones de dispersión de FEM están altamente desestructurados en 2D +. Puede ser muy difícil paralelizar eficientemente un código FEM. La FEM discontinua soluciona esto, pero tiene sus propios problemas que también siguen siendo un área activa de investigación.

Answer 2

Reid Atcheson ofrece una descripción detallada de las principales ventajas, pero quería mencionar algunos detalles:

Creo que las mayores ventajas en la reacción-difusión son poder usar un dominio arbitrario y la facilidad con la que FEM puede especificar condiciones de límite de flujo.

En un método de diferencia finita, la imposición de condiciones de límite de flujo es menos intuitiva y la implementación de un esquema de diferencia finita en un dominio arbitrario (por no hablar de una malla adaptativa o no estructurada) es extremadamente complicada.

Creo que la clave principal con problemas singularmente perturbados es que su problema linealizado puede estar muy mal condicionado. Incluso si ha escalado todas sus variables y está resolviendo las ecuaciones adimensionales, la naturaleza singularmente perturbada del problema asegura que sus parámetros variarán en unos pocos órdenes de magnitud y le darán un número de mal estado. No creo que los métodos de diferencias finitas manejen muy bien los problemas mal condicionados. Un simple código de elementos finitos que utilice el método de Newton para resolver la ecuación no lineal y un solucionador directo para invertir el jacobiano debería proporcionarle una solución convergente.

Answer 3

Existe una fuerte analogía entre la teoría de la perturbación y los análisis locales de ecuaciones diferenciales.
Una solución en serie (convergente o divergente) sobre un punto ordinario de una ecuación diferencial es ~ siempre una serie de Taylor con un radio de convergencia no desaparecido.
Las series de perturbaciones también ocurren en series de potencia de [math] \ epsilon [/ math], con roc que no desaparece y para perturbaciones regulares, solución exacta -> 0 orden / solución no perturbada como [math] \ epsilon \ a 0 [/ math] .
Puede calcular los coeficientes de las series de Taylor con el método de diferencia finita, pero el error de truncamiento y la aproximación lineal se convierten en un obstáculo para órdenes superiores.