¿Cómo se puede resolver la ecuación diferencial no lineal [matemáticas] \ frac {d ^ 2 \ theta} {dt ^ 2} + b \ frac {d \ theta} {dt} + k \ sin \ theta = 0 [/ matemáticas] con condiciones iniciales [matemáticas] \ theta (0) = 0.573 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ theta ‘(0) = 0 [/ matemáticas]?

Answer 1

Esta es la ecuación para un péndulo físico amortiguado. Es un sistema físico razonablemente bien estudiado. Una forma de estudiarlo es trazar la velocidad angular vs desplazamiento. Para valores pequeños de theta yb = 0, se produce un movimiento armónico regular, que se asemeja a un conjunto de círculos concéntricos. Para amplitudes iniciales más grandes, puede obtener una rotación completa.

Para b 0 obtienes excitación con el tiempo, por lo que se mueve en espiral hacia afuera.
Este gráfico muestra un péndulo físico que completa 4 rotaciones antes de establecerse en una oscilación regular.

Existen soluciones analíticas como series de potencia o polinomios Legendre.

Answer 2

Puede resolver eso numéricamente mediante cualquiera de las siguientes opciones, siempre que obtenga algunos valores para by k.

MATLAB ode45 – Resuelve ecuaciones diferenciales no rígidas; método de orden medio
Divida el segundo orden en un sistema de dos de primer orden. Enchufe las condiciones de contorno.

Es posible que desee utilizar Open Source Octave en lugar de MATLAB -Función de referencia: ode45

Lo más fácil podría ser escribirlo en http://www.wolframalpha.com/.&nbsp ; Es sencillo.

Answer 3

Como la otra respuesta te sugiere, es mejor usar Matlab o Mathica.

Creo que, si ve las condiciones, el valor inicial de [math] \ theta [/ math] es lo suficientemente pequeño como para usar una aproximación de ángulo pequeño con una precisión razonable.

Entonces, si haces eso, entonces [matemáticas] \ sin \ theta = \ theta [/ matemáticas],

De tal manera que la ecuación se convierte,

[matemáticas] \ boxed {\ dfrac {d ^ 2 \ theta} {dt ^ 2} + b \ dfrac {d \ theta} {dt} + k \ theta = 0} [/ math]

Esto no es más que la ecuación de movimiento armónico amortiguado general, y encontrar su solución es un poco fácil, así que ahí lo tienes.

¡Salud!