¿Cuántos ceros hay en [matemáticas] 1 ^ 1 + 2 ^ 2 + 3 ^ 3 +… + 100 ^ {100} [/ matemáticas]?

Answer 1

Como se menciona en algunas otras respuestas, el valor numérico de la suma dada se puede encontrar con un CAS como Mathematica escribiendo el código:

  Suma [n ^ n, {n, 1, 100}]

La respuesta obtenida es:

10037111574617644535170121071336194152854686194907351454201517243723658003463474697124494378813246015077677919880000236605987190004178473221753905990194848483434777786597357675132719484848357675132719848483476751319194848483575751345194848347675131719488

El número de ceros en la suma dada se puede calcular directamente utilizando la función de Mathematica incorporada DigitCount y escribiendo:

  DigitCount [Suma [n ^ n, {n, 1, 100}], 10, 0]

El resultado obtenido es que el número de ceros es [math] \ boxed {22} [/ math].

Los números de dígitos entre [matemática] 0 [/ matemática] y [matemática] 9 [/ matemática] en la suma dada se pueden determinar escribiendo:

  DigitCount [Suma [n ^ n, {n, 1, 100}], 10, {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}]

La respuesta obtenida es:

[matemáticas] \ {22,26,12,21,24,19,17,26,16,18 \} [/ matemáticas]

Esto significa que en la suma dada hay 22 ceros, 26 unos, 12 dos, 21 tres, 24 cuatro, 19 cinco, 17 seises, 26 sietes, 16 ochos y 18 nueves.

El número total de dígitos en el valor numérico de la suma dada se puede calcular directamente escribiendo el código:

  IntegerLength [Sum [n ^ n, {n, 1, 100}]]

El resultado obtenido es [matemáticas] 201 [/ matemáticas].

Answer 2

10037111574617644535170121071336194152854686194907351454201517243723658003463474697124494378813246015077677919880000236605987190004178473221753905990194848483434777786597357675132719484848357675132719848483476751319194848483575751345194848347675131719488

Esta es su suma sugerida por Wolfram Alpha y el recuento total de ceros es 22 y solo tiene un cero al final como se puede ver.

Por cierto, hay una manera de contar el número de ceros al final al encontrar su último dígito unitario y si es cero, encontrar su segundo lugar y si todavía es cero, puede verificar sus últimos tres dígitos y así sucesivamente proceso de cálculo de esta manera. Puede ser un poco más largo, pero aún puede calcularlo si desea resolverlo sin usar ninguna programación.

Ese proceso tiene que ver con un patrón como el último dígito de a ^ (4N + r) es el mismo para todos los N pertenecen al número natural mientras se mantiene ” r ” constante que también es un número natural. Y una cosa más, solo depende del dígito que está en el lugar unitario que número a.

Por este método, si calculamos el lugar unitario para 1-10, será igual para 41-50 y 81-90 en este caso porque 41-50 y 81-90 tiene el mismo último dígito que 1-10 y su potencia también tendrá mismo efecto porque es 4 × 10 + r & 4 × 20 + r y r respectivamente para ambos períodos y el mismo último dígito para ambos períodos. Del mismo modo, podemos proceder con pocas pequeñas observaciones.

Desarrollé un patrón similar para calcular el dígito en el enésimo lugar si está interesado en saber que puede comentar a continuación.

Answer 3

¡Hola! La respuesta es 31 , sin cero al final del número.

Se encuentra

Escribí un código R para averiguar este número. Aquí está el código:

opciones (scipen = 999)

b = 0

para (i en 1: 100) {

b [i] = i ^ i}

suma (b)

¡Salud!

Answer 4

22)

Enfoque: escriba \ sum_ {i = 1} ^ {100} i ^ i en wolfram alpha. Cuenta los ceros en la respuesta.

Answer 5

#include
/ * Función para resolver 1 + 2 ^ 2 + 3 ^ 3 + 4 ^ 4 + 5 ^ 5 +… + 100 ^ 100 * /

int power (int n, int powN)
{
if (powN == 0) {return 1; }
if (powN == 1) {return n; }
devuelve n * potencia (n, powN-1);
}

cuenta nula cero (int num)
{
int ceros = 0, rem;
mientras que (num! = 0)
{
rem = num% 10;
if (rem == 0) {ceros ++; }
num = num / 10;
}
printf (“\ nLos ceros totales son:% d \ n”, ceros);
}

vacío principal()
{
int i, suma = 0;
resultado int;

para (i = 1; i <= 100; i ++)
{
suma + = potencia (i, i);
}
printf (“\ nResultado:% d”, suma);

countZeroes (suma);
}

Answer 6

Me sorprendería si fueran más de dos. Si está hablando de ceros medios, como el de 308, entonces podría haber más, pero esto implica expandir el número.

La potencia más pequeña de 5 es 3125. Todos los números pares son múltiplos de 4, y todo más allá de 4 es múltiplo de 64. Es solo el material co-prime del que debe preocuparse.

Answer 7

22)

Aquí hay un fragmento de código de Python que hace el trabajo

sum,num_zeros = 0, 0 for i in range(1,101): sum += i**i for x in str(sum): if x == '0': num_zeros += 1 print num_zeros