¿Qué son las ecuaciones de Lagrange y Hamilton?

Answer 1

Para ahorrarme algo de tipeo, haré los cálculos para una partícula en una dimensión, pero generalizar a más dimensiones no es tan malo. Esta respuesta será decentemente técnica pero con suerte una descripción útil de estas dos formulaciones de mecánica.

La formulación lagrangiana de la mecánica se basa en El principio de la menor acción. Establece que la trayectoria de un sistema es aquella que hace que esta acción sea mínima. Esta acción se define como

[matemática] A = \ displaystyle \ int_ {t_1} ^ {t_2} L (q, \ dot {q}, t) dt [/ math] donde [math] q [/ math] es la coordenada de una partícula y [math] \ dot {q} [/ math] es la velocidad de una partícula.

El lagrangiano para un sistema simple es la energía cinética menos la energía potencial. Esto está escrito:

[matemáticas] L = TV = \ frac {m} {2} \ dot {q} ^ 2-V (q) [/ matemáticas].

Después de hacer las desviaciones de orden de primer orden en [matemática] A [/ matemática] igual a cero y masajear las matemáticas un poco (sugiero que busque un video o pdf sobre esto) obtendrá la Ecuación de Euler-Lagrange:

[matemáticas] \ dfrac {\ partial L} {\ partial q} – \ dfrac {d} {dt} \ dfrac {\ partial L} {\ partial \ dot {q}} = 0 [/ math].

¡Esta ecuación es el corazón de la mecánica lagrangiana! Una vez que conoces el sistema Lagrangiano, ¡en cuestión de segundos puedes tener la (s) ecuación (es) de movimiento!

También vale la pena señalar que si [math] \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {q}} [/ math] es momentum y [math] \ frac {\ partial L} {\ partial q} [/ math] es fuerza, entonces la ecuación de Euler-Lagrange es solo [math] F = ma [/ math]! Es por eso que [matemáticas] \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {q}} [/ math] se define como momento (y para sistemas simples realmente es masa por velocidad) y [matemáticas] \ frac { \ partial L} {\ partial q} [/ math] se define como fuerza generalizada.

A Hamilton. A principios del siglo XX, Emmy Noether demostró que las cantidades conservadas se deben a tipos de simetrías con un sistema lagrangiano. Veamos qué sucede cuando el sistema lagrangiano no cambia con el tiempo.

[matemáticas] 0 = \ dfrac {dL} {dt} = \ dfrac {\ partial L} {\ partial q} \ dfrac {dq} {dt} + \ dfrac {\ partial L} {\ partial \ dot {q} } \ dfrac {d \ dot {q}} {dt} = \ dfrac {d} {dt} \ dfrac {\ partial L} {\ partial \ dot {q}} \ dfrac {dq} {dt} + \ dfrac {\ partial L} {\ partial \ dot {q}} \ dfrac {d \ dot {q}} {dt} = \ dfrac {d} {dt} (\ dot {q} p) [/ math] donde I han sustituido la fuerza por la derivada del momento del momento (debido a la ecuación EL), invirtieron la regla del producto y llamaron [math] p [/ math] al momento.

Tenemos [math] \ frac {d} {dt} (\ dot {q} p – L) = 0 [/ math] por lo que la cantidad entre paréntesis es una cantidad conservada. Esta cantidad se llama hamiltoniana y es la energía de un sistema.

[matemáticas] H = \ dot {q} p – L [/ matemáticas]

A diferencia del Lagrangiano, que es una función de posición y velocidad, el Hamiltoniano es una función de posición y momento.

Tomemos la variación en el Hamiltoniano de su definición usando la regla del producto.

[matemáticas] dH = (d \ dot {q}) p + \ dot {q} (dp) – \ dfrac {\ partial L} {\ partial q} dq- \ dfrac {\ partial L} {\ partial \ dot { q}} d \ dot {q} [/ matemáticas]

Los primeros y últimos términos se cancelan dejándonos con

[matemáticas] dH = \ dot {q} (dp) – \ dfrac {\ partial L} {\ partial q} dq [/ math].

El hamiltoniano es una función de la posición y el impulso, así que tomemos la variación en él como lo haríamos con cualquier otra función de varias variables:

[matemática] dH = \ dfrac {\ parcial H} {\ parcial q} dq + \ dfrac {\ parcial H} {\ parcial p} dp [/ matemática].

Emparejando los términos en estas dos ecuaciones (y recordando que la derivada del momento del momento es igual a parcial de [matemáticas] L [/ matemáticas] wrt [matemáticas] q [/ matemáticas]) obtenemos que

[matemáticas] \ dot {q} = \ dfrac {\ partial H} {\ partial p} [/ math] y

[matemáticas] \ dot {p} = – \ dfrac {\ partial H} {\ partial q} [/ math].

Estas son las ecuaciones de movimiento de Hamilton que se utilizan en la mecánica hamiltoniana.

Esta fue una respuesta bastante técnica, pero espero que haya dado una idea de las dos formulaciones de la mecánica clásica. ¡Avíseme si tiene alguna pregunta e intentaré ayudarlo si sé cómo!

Answer 2

[Le recomiendo que lea mi respuesta a la pregunta, ¿Cuál es la ecuación lagrangiana y la ecuación de Euler Lagrange ?; mi respuesta actual es una especie de continuación de esa respuesta (de hecho, en un momento esa pregunta se redirigió a esta, pero desde entonces, se eliminó la redirección).]

Esta es la forma en que me gusta explicar el formalismo hamiltoniano: el enfoque lagrangiano se basa en conocer los estados inicial y final del sistema. Las ecuaciones de Euler-Lagrange de segundo orden resultantes admiten muchas soluciones; Se puede elegir una solución única desde el espacio de la solución especificando las funciones desconocidas al principio y al final de un intervalo de tiempo. Sin embargo, también se puede obtener una solución única al conocer las funciones desconocidas y sus derivadas de tiempo (posiciones y velocidades) en el punto inicial del intervalo. Esto es lo que le da al enfoque lagrangiano su poder predictivo.

Pero podemos hacerlo mejor que eso. Podemos reemplazar las ecuaciones diferenciales de Euler-Lagrange de segundo orden con un conjunto de ecuaciones de primer orden. ¿Cómo? Al realizar una transformación Legendre de Lagrangian.

Dado un lagrangiano en la forma, [matemática] L (q, \ dot {q}, t) [/ matemática], presentamos la nueva variable, el “momento canónico” [matemática] p = \ parcial L / \ parcial \ dot {q} [/ math], que da el Hamiltoniano

[matemáticas] H (p, q, t) = p \ dot {q} -L (q, \ dot {q}, t). [/ matemáticas]

La parte “mágica” de la transformación de Legendre es que el lado izquierdo solo será una función de [matemática] p [/ matemática] y [matemática] q [/ matemática], no [matemática] \ dot {q} [ /matemáticas].

¿Qué bien hace eso, preguntas? Por qué, ahora podemos reescribir la acción en el formulario,

[matemáticas] S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} p \ dot {q} -H (p, q, t) ~ dt. [/ matemáticas]

El principio de menor acción da como resultado la ecuación de movimiento,

[matemáticas] \ left (\ dot {q} – \ frac {\ partial H} {\ partial p} \ right) \ delta p- \ left (\ dot {p} + \ frac {\ partial H} {\ partial q} \ right) \ delta q = 0, [/ math]

y debido a que [math] p [/ math] y [math] q [/ math] se varían independientemente, esto realmente significa que las siguientes dos ecuaciones de movimiento hamiltonianas deben satisfacerse independientemente:

[matemáticas] \ dot {q} = \ frac {\ partial H} {\ partial p}, [/ math]
[matemáticas] \ dot {p} = – \ frac {\ partial H} {\ partial q}. [/ math]

Entonces, en lugar de una ecuación diferencial de segundo orden para la función desconocida [matemática] q [/ matemática], tenemos dos ecuaciones diferenciales de primer orden para las funciones desconocidas [matemática] p [/ matemática] y [matemática] q [/ matemática ]

Este enfoque también puede generalizarse trivialmente en varias dimensiones ([matemática] q_i [/ ​​matemática], [matemática] p_i [/ ​​matemática]).