Para ahorrarme algo de tipeo, haré los cálculos para una partícula en una dimensión, pero generalizar a más dimensiones no es tan malo. Esta respuesta será decentemente técnica pero con suerte una descripción útil de estas dos formulaciones de mecánica.
La formulación lagrangiana de la mecánica se basa en El principio de la menor acción. Establece que la trayectoria de un sistema es aquella que hace que esta acción sea mínima. Esta acción se define como
[matemática] A = \ displaystyle \ int_ {t_1} ^ {t_2} L (q, \ dot {q}, t) dt [/ math] donde [math] q [/ math] es la coordenada de una partícula y [math] \ dot {q} [/ math] es la velocidad de una partícula.
El lagrangiano para un sistema simple es la energía cinética menos la energía potencial. Esto está escrito:
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- ¿Cuáles son las ventajas de usar un método explícito (por ejemplo, Forward Euler) sobre métodos implícitos, cuando el sistema de ecuaciones diferenciales le gusta esto, [matemática] C dx (t) / dt = G x (t) + u (t) [/ matemática] (donde [matemática] C [/ matemática] y [matemática] G [/ matemática] son matrices dispersas más grandes, [matemática] u (t) [/ matemática] se ingresa en este sistema, [matemática] x (t) [/ matemáticas] es el estado del sistema)?
- ¿Cómo se puede resolver la ecuación diferencial no lineal [matemáticas] \ frac {d ^ 2 \ theta} {dt ^ 2} + b \ frac {d \ theta} {dt} + k \ sin \ theta = 0 [/ matemáticas] con condiciones iniciales [matemáticas] \ theta (0) = 0.573 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ theta ‘(0) = 0 [/ matemáticas]?
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[matemáticas] L = TV = \ frac {m} {2} \ dot {q} ^ 2-V (q) [/ matemáticas].
Después de hacer las desviaciones de orden de primer orden en [matemática] A [/ matemática] igual a cero y masajear las matemáticas un poco (sugiero que busque un video o pdf sobre esto) obtendrá la Ecuación de Euler-Lagrange:
[matemáticas] \ dfrac {\ partial L} {\ partial q} – \ dfrac {d} {dt} \ dfrac {\ partial L} {\ partial \ dot {q}} = 0 [/ math].
¡Esta ecuación es el corazón de la mecánica lagrangiana! Una vez que conoces el sistema Lagrangiano, ¡en cuestión de segundos puedes tener la (s) ecuación (es) de movimiento!
También vale la pena señalar que si [math] \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {q}} [/ math] es momentum y [math] \ frac {\ partial L} {\ partial q} [/ math] es fuerza, entonces la ecuación de Euler-Lagrange es solo [math] F = ma [/ math]! Es por eso que [matemáticas] \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {q}} [/ math] se define como momento (y para sistemas simples realmente es masa por velocidad) y [matemáticas] \ frac { \ partial L} {\ partial q} [/ math] se define como fuerza generalizada.
A Hamilton. A principios del siglo XX, Emmy Noether demostró que las cantidades conservadas se deben a tipos de simetrías con un sistema lagrangiano. Veamos qué sucede cuando el sistema lagrangiano no cambia con el tiempo.
[matemáticas] 0 = \ dfrac {dL} {dt} = \ dfrac {\ partial L} {\ partial q} \ dfrac {dq} {dt} + \ dfrac {\ partial L} {\ partial \ dot {q} } \ dfrac {d \ dot {q}} {dt} = \ dfrac {d} {dt} \ dfrac {\ partial L} {\ partial \ dot {q}} \ dfrac {dq} {dt} + \ dfrac {\ partial L} {\ partial \ dot {q}} \ dfrac {d \ dot {q}} {dt} = \ dfrac {d} {dt} (\ dot {q} p) [/ math] donde I han sustituido la fuerza por la derivada del momento del momento (debido a la ecuación EL), invirtieron la regla del producto y llamaron [math] p [/ math] al momento.
Tenemos [math] \ frac {d} {dt} (\ dot {q} p – L) = 0 [/ math] por lo que la cantidad entre paréntesis es una cantidad conservada. Esta cantidad se llama hamiltoniana y es la energía de un sistema.
[matemáticas] H = \ dot {q} p – L [/ matemáticas]
A diferencia del Lagrangiano, que es una función de posición y velocidad, el Hamiltoniano es una función de posición y momento.
Tomemos la variación en el Hamiltoniano de su definición usando la regla del producto.
[matemáticas] dH = (d \ dot {q}) p + \ dot {q} (dp) – \ dfrac {\ partial L} {\ partial q} dq- \ dfrac {\ partial L} {\ partial \ dot { q}} d \ dot {q} [/ matemáticas]
Los primeros y últimos términos se cancelan dejándonos con
[matemáticas] dH = \ dot {q} (dp) – \ dfrac {\ partial L} {\ partial q} dq [/ math].
El hamiltoniano es una función de la posición y el impulso, así que tomemos la variación en él como lo haríamos con cualquier otra función de varias variables:
[matemática] dH = \ dfrac {\ parcial H} {\ parcial q} dq + \ dfrac {\ parcial H} {\ parcial p} dp [/ matemática].
Emparejando los términos en estas dos ecuaciones (y recordando que la derivada del momento del momento es igual a parcial de [matemáticas] L [/ matemáticas] wrt [matemáticas] q [/ matemáticas]) obtenemos que
[matemáticas] \ dot {q} = \ dfrac {\ partial H} {\ partial p} [/ math] y
[matemáticas] \ dot {p} = – \ dfrac {\ partial H} {\ partial q} [/ math].
Estas son las ecuaciones de movimiento de Hamilton que se utilizan en la mecánica hamiltoniana.
Esta fue una respuesta bastante técnica, pero espero que haya dado una idea de las dos formulaciones de la mecánica clásica. ¡Avíseme si tiene alguna pregunta e intentaré ayudarlo si sé cómo!