¿Qué son los armónicos esféricos?

Answer 1

De los temas, creo que esta pregunta no se trata de armónicos en general, sino de armónicos esféricos, que son funciones matemáticas utilizadas en física, especialmente en el cálculo de campos electromagnéticos, campos gravitacionales y funciones de onda mecánica cuántica.

Algunos problemas naturalmente tienen simetría esférica, como el campo alrededor de un átomo. Tales problemas son más fáciles de resolver (¡eventualmente!) Si los describe en coordenadas esféricas. En lugar de las coordenadas 3D rectangulares habituales (x, y, z), las coordenadas esféricas son

• r, la distancia radial desde el origen, o centro de coordenadas;
• phi, el ángulo entre r y el eje z; y
• theta, el ángulo entre el eje xy la proyección de r sobre el plano (x, y).

Esta imagen muestra las relaciones entre los dos conjuntos de coordenadas.

Los armónicos esféricos son funciones que son periódicas en theta y phi. Eso significa que serán continuos cuando un ángulo pase de 359 grados a 360 (= 0) a 1 grado. Necesitamos esa periodicidad para describir campos y funciones de onda que son continuas.

Esta imagen muestra los orbitales atómicos s, p, d y f descritos por los armónicos esféricos de menor frecuencia.

Se puede encontrar una descripción completa de las matemáticas en el artículo de Wikipedia, Armónicos esféricos.

Brevemente, los armónicos esféricos utilizados en física matemática son soluciones, Y, a la ecuación de Laplace, una ecuación diferencial parcial particular en coordenadas esféricas.

dónde es un polinomio de Legendre asociado, que se encuentra al resolver una ecuación diferencial parcial 2D asociada, la ecuación general de Legendre.

La periodicidad en theta y phi se logra restringiendo los valores de l y m a enteros. Esto proporciona la cuantificación de los niveles de energía atómica.

Los primeros polinomios de Legendre asociados son

Answer 2

Se dice que una función con valor real f de variables reales es armónica si tiene derivadas parciales continuas de primer y segundo orden y si satisface la ecuación de Laplace, entonces f se llama función armónica. La solución de Laplace eqn se llama Harmonics.

En coordenadas cartesianas 3D,

Los armónicos esféricos son un conjunto infinito de funciones armónicas definidas en el espacio 3D de la esfera. Algunos problemas naturalmente tienen simetría esférica, como el campo alrededor de un átomo, la radiación de calor en el hemisferio, etc. Tales problemas son más fáciles de resolver si los describe en coordenadas esféricas. En lugar de las habituales coordenadas 3D rectangulares (x, y, z). Se utilizan principalmente para resolver la porción angular de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas utilizando la separación de variables

En coordenadas esféricas, las formas de Laq eqn,

Considerando soluciones de la forma f ( r , θ , φ ) = R ( r ) Y ( θ , φ ). Usando la separación de variables

Ecuación radial:

La primera ecuación es la ecuación de Cauchy-Euler Entonces, la ecuación para R tiene soluciones de la forma

Si f es independiente de θ y φ. Entonces la ecuación de f (r, θ, φ) se convierte en,

su solución

Ecuación angular:

La segunda solución de ecuación es Y ( θ , φ ) = Θ ( θ ) Φ ( φ ) se conoce como armónicos de superficie. Usando la separación de variables

para algún número m . A priori, m es una constante compleja, pero debido a que Φ debe ser una función periódica cuyo período divida uniformemente 2 π , m es necesariamente un número entero y Φ es una combinación lineal de los exponenciales complejos e ^ ( ± im φ) . La función de solución Y ( θ , φ ) es regular en los polos de la esfera, donde θ = 0, π . Imponer esta regularidad en la solución Θ de la segunda ecuación en los puntos de límite del dominio es un problema de Sturm-Liouville que obliga al parámetro λ a tener la forma λ = ℓ ( ℓ + 1) para algún entero no negativo con ℓ ≥ | m |

Un cambio de variables t = cos θ transforma esta ecuación en la ecuación de Legendre en la ecuación de Θ ( θ ). Entonces, la ecuación para Φ tiene soluciones de la forma un múltiplo del polinomio Legendre asociado

La ecuación de Φ ( φ ) es la ecuación diferencial de segundo orden. Entonces, la ecuación para Φ tiene soluciones de la forma

Armónicos de superficie

La solución general a la ecuación de Laplace en una bola centrada en el origen es una combinación lineal de las funciones armónicas esféricas.

Si Y ( θ , φ ) es una función de valor único de θ donde φ es constante, entonces Y (θ, φ) es armónicos esféricos zonales . Entonces la ecuación de Y (θ, φ) se convierte en,

su solución

La solución general

Los armónicos esféricos son una base de espacio de frecuencia para representar funciones definidas sobre la esfera. Son el análogo esférico de la serie 1D Fourier. Los armónicos esféricos surgen en muchos problemas físicos que van desde el cálculo de configuraciones de electrones atómicos hasta la representación de campos gravitacionales y magnéticos de cuerpos planetarios. También aparecen en las soluciones de la ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas, problema de transferencia de calor en objetos 3D, etc.

Tabla de armónicos esféricos – Wikipedia

Armónica esférica

Armónicos Esféricos

http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph1 …

https: //sahussaintu.files.wordpr …

http://www.ohio.edu/people/mohle …

http://hitoshi.berkeley.edu/221a …

Armónicos esféricos para muñecos.

Answer 3

Los armónicos especiales son la función de onda que define el phsi del hidrógeno y los átomos similares al hidrógeno.

Generalmente se ocupa de las partes de la función de onda espacial.

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