¿Cuáles son las formas más fáciles de entender y aprender conceptos relacionados con ecuaciones diferenciales?

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La forma más fácil de aprender y comprender ecuaciones diferenciales es aprender física .

Lo admito, nunca presté atención en mi clase de EDO, y después de un tiempo dejé de ir. ¿Por qué? Porque si no es una buena clase, todo lo que vas a hacer es aprender sobre este ODE, un método para resolverlo, y luego hacer algunos problemas para practicar. Luego pasa al siguiente ODE, otro método y más problemas. Esto continúa hasta el infinito hasta que llega a PDEs y se da cuenta de que son imposibles de resolver analíticamente, por lo que finalmente comienzan a enseñarle algo útil. De todos modos, nunca presté atención en las EDO, y pensé que esto me iba a matar cuando llegué a mis cursos de física de nivel superior.

Pero afortunadamente no fue así, y creo que es porque en casi todas las clases de física de nivel superior (como QM, E&M, mecánica y termodinámica) se construye la teoría desde cero. En su segundo semestre de física introductoria, habrá aprendido sobre el movimiento ondulatorio. Cuando aprendes mecánica cuántica, una forma de comenzar (si estás aprendiendo de Griffiths como lo hice yo) es a partir de la ecuación de Schroedinger, que es similar a una ecuación de onda. Se le explica lo que significa cada término. Su energía total es igual a la energía cinética más el potencial. ¿Cuánto más simple puede ser? Y aprende de dónde provienen todos los pequeños detalles y por qué tienen que estar allí.

Por lo tanto, ha creado una buena intuición para esta ecuación que puede tomar y aplicar a otras ecuaciones. Comenzará a preguntar qué significan estos términos, cómo interactúan en un espacio abstracto con los demás, por qué debe agregarse en lugar de multiplicarse, etc. En E&M verá que las ondas tienen mucho significado y sus propiedades hacen que Los fenómenos físicos aparentemente extraños parecen completamente claros y obvios (piense en la polarización). La termodinámica es un tema aún más esclarecedor de esa manera.

Si tienes poco tiempo o no te importa lo suficiente de la física como para querer aprenderlo todo y solo quieres elegir uno, diría que aprendes mecánica clásica si tienes poco tiempo . Construirá directamente a partir de conceptos de física de introducción (que es mejor que haya tomado si habla la ecuación diferencial de palabras) como la primera ley de Newton (una ecuación diferencial en sí misma) y lo llevará a un punto en el que realmente formula una ecuación diferencial para ayudar comprende y resuelve fenómenos complejos (un problema interesante es un plano inclinado que está encima de una superficie sin fricción, y hace rodar una bola por el plano inclinado, tanto el plano como la bola terminarán moviéndose).

Si desea saltar a ecuaciones diferenciales numéricas, debe aprender sobre diferencias finitas, elementos y métodos de volumen, ya que creo que son los más fáciles de entender y están muy extendidos. Yo diría que elija un problema que sea fácil y solucionable exactamente en papel, resuélvalo y luego codifique una solución. Mi preferencia personal para el lenguaje / biblioteca / herramienta es Python + NumPy (Numerical Python, una biblioteca que hace que Python sea casi equivalente en la mayoría de los casos a Matlab), ya que es muy fácil y rápido de ejecutar, y Python tiene muchas bibliotecas para ayudarlo con los datos manipulación y trazado (matplotlib, por ejemplo). Luego, una vez que comience a ponerse serio, puede buscar algoritmos paralelos e intentar descubrir cómo hacer una versión multiproceso de su código (para lo cual Python también tiene bibliotecas, incluidos esquemas más complicados como CUDA y paso de mensajes).

Si tuviera que recomendarle la menor cantidad de libros posible, recomendaría lo siguiente y leería en este orden:

1. Dinámica clásica de partículas y sistemas por Marion y Thornton (http://www.amazon.com/Classical-…)
2. Introducción a los métodos numéricos en ecuaciones diferenciales por Mark Holmes (Amazon.com: Introducción a los métodos numéricos en ecuaciones diferenciales (Textos en Matemática Aplicada, Vol. 52) (9780387308913): Mark H. Holmes: Libros)
3. Ecuaciones diferenciales parciales numéricas: Métodos de diferencia finita de JW Thomas (Ecuaciones diferenciales parciales numéricas: Métodos de diferencia finita (textos en matemática aplicada): JW Thomas: 9780387979991: Amazon.com: Libros)

Algunas personas podrían cuestionarse saltar a un libro PDE numérico sin haber leído un libro PDE normal. Puede que tengan razón. Nunca leí ningún libro de PDE ni tomé clases, pero tuve mucha exposición a ellos en investigación y en física en general, por lo que podría ser algo a considerar. La mejor manera de encontrar un buen libro sobre PDE es simplemente buscarlo en Amazon y leer las reseñas. Eso fue lo que hice y terminé con esta: Ecuaciones diferenciales parciales para científicos e ingenieros (Dover Books on Mathematics): Stanley J. Farlow, Mathematics: 9780486676203: Amazon.com: Books. Además, el segundo libro en mi lista es muy corto … así que podrías considerar buscar más material si no te sientes genial saltando al # 3 tan rápido. La lista es solo una guía, también tendrá que leer muchos artículos de Wiki y otras diapositivas en Internet. Es útil tener un lugar donde pueda hacer preguntas (StackExchange, Quora, PhysicsForums o un profesor).

De todos modos, espero que esto haya sido útil. Avíseme si tiene más preguntas o si desea obtener más detalles sobre algo.