¿Cuáles son algunos ejemplos de PDE elípticas?

El ejemplo más simple sería la ecuación de Laplace.

Ecuación de Laplace

Puede generalizar la ecuación de Laplace a PDE diferenciales de segundo orden poniéndolas en forma de divergencia (consulte el ejemplo 2 en Operador elíptico
)

Existen numerosas PDE elípticas no lineales en física. A menudo se describe un sistema físico que utiliza una energía funcional, una medida de la energía de un campo en el espacio y el tiempo. Los puntos críticos (es decir, campos críticos) de estos funcionales (débilmente) resuelven las leyes de conservación que expresan PDE de acuerdo con el teorema de Noether. (Desplácese hacia abajo hasta la Teoría de campo Versión del teorema de Noether). Estos pueden considerarse PDE en forma de divergencia. Dado que un físico generalmente está interesado en un campo de energía mínima, este sería un punto crítico y, por lo tanto, una solución débil de la PDE asociada. Este PDE puede ser elíptico (o puede no serlo, la ecuación de onda, por ejemplo, es hiperbólica y la ecuación de calor es parabólica).

Algunos ejemplos de física que he visto son: Ginzburg-Landau, Faddeev-Skyrme y la ecuación de superficie mínima.

También hay PDE elípticos que provienen de las matemáticas puras, por ejemplo, el sistema indeterminado de PDE para el teorema de incrustación de Nash-Moser Riemann. Por cierto, Nash y Moser usaron técnicas de prueba completamente diferentes, y yo argumentaría (aunque esto es solo una opinión) que la técnica de Moser tenía más aplicaciones para probar resultados de regularidad adicionales para otras PDE elípticas no lineales.

Si está interesado en dominar los detalles de la PDE elíptica en el nivel de posgrado, recomendaría el libro de Gilbarg y Trudinger

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y el libro de Qing Han y Fanghua Lin (mi asesor)

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Ya no estoy activo en esta comunidad de investigación, pero cuando me fui, diría que todavía hay muchos problemas interesantes. Por ejemplo, si bien las técnicas para demostrar la regularidad de las soluciones débiles están bastante bien establecidas, hay muchas preguntas interesantes cuando también debe analizar la geometría o la topología global (como en Faddeev-Skyrme y Yang-Mills).

Una cosa más es que una base sólida en la PDE elíptica puede ser útil para estudiar la PDE parabólica e incluso hiperbólica.