¿Cuál es el significado de la derivada de segundo orden?

Answer 1

Cuando aprendí los derivados por primera vez, me ayudó tener una aplicación del mundo real para dibujar analogías.

La primera derivada [matemática] dy / dx [/ matemática], como probablemente ya sepa, es la tasa de cambio de y con respecto a x. Basándose en la mecánica clásica, la velocidad es una primera derivada de la distancia recorrida con respecto al tiempo. Si corre 10 metros en 2 segundos a una velocidad constante , su velocidad es 10/2 = 5 metros / segundo.

Ahora, ¿un objeto se mueve a la misma velocidad para siempre? No. Para capturar el cambio en la velocidad, necesita una segunda derivada. La segunda derivada [matemática] d ^ 2y / dx ^ 2 [/ matemática] le dice la tasa de cambio de la primera derivada con respecto a x – en este caso, la tasa de cambio de velocidad con el tiempo (también conocida como aceleración) . Digamos que comience desde un inicio permanente, una velocidad de 0 metros / segundo, y con una aceleración constante alcance esa velocidad de 5 metros / segundo en 5 segundos, su aceleración es 1 [matemática] metro / segundo ^ 2 [/ matemática].

Gráficamente, la primera derivada es la pendiente en un punto y la segunda derivada explica cómo cambia la pendiente sobre el eje x. Si una función tiene pendiente no constante, la segunda derivada explica la curvatura del gráfico, como en la imagen a continuación. En el punto marcado en el gráfico, la pendiente realmente no cambia si mueve una pequeña cantidad a lo largo del eje x, por lo que la segunda derivada es pequeña (y 0 en la b). A medida que te alejas, notas que la pendiente cambia apreciablemente si te mueves una pequeña cantidad a lo largo del eje x. En este punto, la segunda derivada es útil para explicar el comportamiento de la función.

Answer 2

En pocas palabras, una derivada es una tasa de cambio. Una segunda derivada es una tasa de cambio de una tasa de cambio. Esta es la razón por la cual la primera derivada de la posición es la velocidad: la velocidad es la tasa de cambio de posición. La segunda derivada es la aceleración, la tasa de cambio de la tasa de cambio (cómo está cambiando la velocidad). Incluso hay una tercera derivada llamada Jerk que mide la tasa de cambio de aceleración.

Intenta recordar lo que significa una derivada (de la definición). Realmente no es más que una pendiente, pero es la pendiente en un punto. Recuerda de tus clases de Álgebra que estudiaste las pendientes dadas por dos puntos (que definieron una línea).   Le dice la respuesta a la pregunta “si estuviera en este punto en esta función en particular, ¿a dónde iría después?” ¿Subo, bajo o me quedo en la misma elevación? Si está en un automóvil que se mueve exactamente a la misma velocidad todo el tiempo (digamos que tiene el control de crucero activado), entonces no está acelerando, y eso es lo que su segunda derivada le dice cuando sale como cero. Si acelera, la pendiente durante el tiempo de la aceleración es hacia arriba y si experimenta aceleración negativa (a los físicos no les gusta decir desacelerar por alguna razón) la pendiente sería hacia abajo. Esta es la razón por la cual los ejemplos de posición, velocidad, aceleración y tirón se usan a menudo para hablar de derivados. Es la matemática del cambio, y dado que nuestro universo está lleno de cosas de cambios que queremos controlar, no sorprende que la ciencia encuentre que el cálculo es una herramienta muy útil para hacerlo.

Answer 3

tl; dr: Representa cuán gruesa o delgada una aproximación de parábola en ese punto sería de la misma manera que la primera derivada representa la pendiente de una línea tangente. Esto es particularmente significativo cuando la primera derivada es 0.

La aplicación más común de la segunda derivada es, como la mayoría de las respuestas aquí descritas, es como la tasa de cambio de la primera derivada, sin embargo, puede no estar claro qué significa esto en términos del gráfico original.

Para entender esto, primero debemos dar un paso atrás y entender lo que significa una primera derivada. A la mayoría de nosotros se nos enseña que es la pendiente de una línea tangente en ese punto. ¿Pero por qué una línea? Bueno, una línea por definición es una función que tiene pendiente constante, o en otras palabras, constante primera derivada. Estamos haciendo la aproximación (aunque sea mala) que esta primera derivada tiene para todas las x, y si hacemos eso, obtenemos la línea resultante.

Ahora pensemos en la segunda derivada. ¿Qué función tiene una segunda derivada constante? Bueno, eso sería una parábola. Entonces podemos hacer el mismo procedimiento que con la línea y suponer que la segunda derivada es constante para todas las x y aproximar la función alrededor de ese punto con una parábola.

Pero, ¿qué significa realmente el valor de la segunda derivada en este caso? Técnicamente hablando, si su aproximación de parábola tiene la forma [matemática] ax ^ 2 + bx + c [/ matemática], la segunda derivada de su función en el punto es [matemática] a / 2 [/ matemática].

La magnitud del coeficiente [math] a [/ math] representa cuán ancha o estrecha es una parábola. Un valor grande significa que es muy delgado, mientras que un valor pequeño significa que es ancho.

El signo del coeficiente representa si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. Probablemente esté familiarizado con esto en su clase de cálculo de introducción, donde se le enseñó que el signo de la segunda derivada representa la concavidad. Esto tiene sentido porque una parábola de apertura hacia arriba es “cóncava hacia arriba” y una parábola de apertura hacia abajo es “cóncava hacia abajo”.

Ahora pensemos por qué esto podría ser útil. Nuevamente, volveremos a la primera derivada. Un uso común de la aproximación de línea tangente es determinar el valor de los puntos vecinos con el valor correspondiente en la línea.

Esta técnica no es muy útil si estamos en un mínimo o máximo relativo (es decir, donde la primera derivada es 0) porque aproxima la función completa como evaluación de ese valor. En este caso, la segunda aproximación derivada puede ser perspicaz. En particular, este problema surge con bastante frecuencia cuando se estudian potenciales complejos en sistemas físicos.

El gráfico dado arriba es la energía potencial de muchos sistemas de dos partículas en función de su separación. Ejemplos comunes son dos cuerpos planetarios que orbitan entre sí y los átomos en una molécula diatómica. El punto donde la energía está en un mínimo local representa la distancia de equilibrio entre ellos.

Esta aproximación nos permite modelar el potencial cerca de ese punto como [math] U (r) = \ frac {1} {2} kr ^ 2 [/ math] donde [math] k [/ math] es la segunda derivada en ese punto. ¿Ese potencial parece familiar? Es el potencial de un resorte simple derivado de la ley de hooke. Lo que hemos hecho es realmente bastante poderoso. Tomamos un problema muy complejo como dos cuerpos planetarios en órbita y dedujimos que cuando está en equilibrio, actúa como un resorte. ¡Si aumentamos o disminuimos la separación, oscilará como un resorte y podremos calcular la frecuencia de esa oscilación (si conocemos las masas de los objetos)!

Volviendo a la pregunta original sobre el significado de la segunda derivada, algunas respuestas aquí han declarado que representa cuán “curvilínea” es una función. Esto sólo es parcialmente cierto. En realidad, existe una noción matemáticamente bien definida de curvatura que es [matemática] \ kappa = \ frac {| y ” |} {(1 + y ‘^ 2) ^ {3/2}} [/ matemática]. Por lo tanto, es cierto que a medida que aumenta la segunda derivada, la curvatura también lo hace.

Pero si pensamos en el ejemplo de la parábola, tiene una segunda derivada constante, pero a medida que nos alejamos del centro, la primera derivada sube y la curvatura baja. Esto tiene sentido porque hay una curva pronunciada en la parábola cerca del extremo pero se vuelve más recta a medida que nos alejamos.

Answer 4

Una buena forma de pensar es en términos de cuán ‘curvilínea’ es la función en un punto. El valor de la derivada es una medida bastante limitada en términos de forma de la curva. La segunda derivada amplía el conocimiento que obtenemos al encontrar la primera derivada. Bueno, si confiamos en la primera derivada y el valor de la función, entonces sin (x):
y [matemáticas] e ^ x-1 [/ matemáticas]
se ve exactamente igual a 0.

La segunda derivada nos dice, en cambio, que sin (x) no se abrirá muy pronto, mientras que e ^ x será más ‘curvilíneo’ en la dirección positiva.

Arjun Prakash da una muy buena explicación de por qué esto es útil en la vida real, y quería ampliar su último punto.

Answer 5

La derivada de segundo orden, conocida cariñosamente como f ” (x), tiene 2 aplicaciones principales:

F ” (x) indica la tasa de cambio de la tasa de cambio. Si f (x) denota posición o desplazamiento, f ‘(x) denota velocidad. F ” (x) denota aceleración. En cálculo diferencial, esto tiene las aplicaciones obvias involucradas con la aceleración. En el cálculo integral, la segunda derivada se puede usar para calcular la velocidad, lo que puede ser muy útil.

F ” (x) también tiene relación directa con f (x). El signo de la segunda derivada determina la concavidad de f (x). Además, la concavidad se puede usar para probar los extremos. Si f ‘(x) = 0 yf’ ‘(x)> 0, x es un mínimo. Si f ‘(x) = 0 yf’ ‘(x <0), x es un máximo.