Hay alrededor de miles de millones de formas en que puede responder esta pregunta, ni siquiera trataría de responderla en toda su extensión. Solo para dar una impresión, enumero las diferentes categorías a medida que aparecen en la parte superior de mi cabeza
- Orden del PDE: los PDE a menudo se colocan en diferentes clases dependiendo de la derivada más alta que ocurre dentro del PDE
- Estático vs. dependiente del tiempo: el tiempo puede o no desempeñar un papel en las PDE. Las PDE estáticas típicas están relacionadas con algún tipo de equilibrio que se puede decir, mientras que las PDE dependientes del tiempo (obviamente) están relacionadas con la evolución de un sistema en el tiempo
- Variacional frente a no variacional: algunos PDE pueden reescribirse en un problema de minimización (es decir, definir un funcional en un espacio de función apropiado de dimensión infinita) de modo que el minimizador de este funcional sea la solución para el PDE. Eso generalmente simplifica las cosas. Sin embargo, a veces esto no funciona y luego las cosas se vuelven más complicadas
- Prototipo de PDE: hay bastantes “prototipos” de PDE como “ecuación de calor”, “ecuación de onda”, “problema de transporte”, “ecuación de Laplace” o quizás un poco más exóticas “inclusiones doblemente no lineales”. Muchas PDE pueden clasificarse de acuerdo con su forma a uno de los diferentes prototipos y, a menudo, se denominan “ecuación generalizada […]” 😉
- Débil frente a fuerte de: a menudo las personas distinguen entre un débil o un fuerte de la ecuación, es decir, si están buscando una solución en un espacio clásico de “funciones diferenciables x-times” o un espacio más moderno de, por ejemplo, “Sobolev “o” Funciones BV “. En términos simples, depende de cómo interpretes la derivada: de la manera clásica (eso es básicamente lo que aprendes en el cálculo de la escuela secundaria) o de una manera abstracta que hace uso de la integración y prueba de la solución con un subconjunto de funciones
Puede haber muchas otras formas que aún no se me han ocurrido, pero tal vez ese es un primer comienzo en el tema.