Ecuaciones diferenciales: [matemática] u [/ matemática] y [matemática] m [/ matemática] son ​​funciones de [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática], y se da que [matemática] \ frac {\ partial u} {\ partial x} = m [/ math]. Si resuelvo [math] u [/ math], mi libro de referencia dice que [math] u = \ int m \, \ partial x + k (y) [/ math]. ¿Es [math] k [/ math] alguna función?

Answer 1

Denote [matemáticas] u = u (x, y) [/ matemáticas]. En realidad, es matemáticamente legal considerar la ecuación:
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial x} = m} [/ matemáticas]
una ODE con respecto a [math] x [/ math] solamente. Esta suposición es válida debido al hecho de que [math] x, y [/ math] son ​​variables independientes entre sí. Por lo tanto, al integrar la ecuación con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas] obtenemos:
[math] \ displaystyle {u = \ int m \ mathrm {d} x + C} [/ math] donde [math] C [/ math] es cierto valor constante integral con respecto a [math] x [/ math]
Pero debido a que [math] u = u (x, y) [/ math] es una función que depende de [math] y [/ math], entonces [math] C [/ math] debe ser una determinada función de [math] y [ / math] solo eso significa [math] C = C (y) [/ math].
En conclusión, obtenemos la fórmula anterior:
[matemáticas] \ displaystyle {u (x, y) = \ int m \ mathrm {d} x + C (y)} [/ math]
Comentario: es importante señalar que la notación [math] \ int {m \ partial x} [/ math] no tiene sentido en términos de integración.

Answer 2

Esta noción de una función constante proviene de los métodos de cálculo multivariante. Cuando tenemos una función de digamos 2 variables, llámela f (x, y), podemos diferenciar parcialmente esa función con respecto a x o y, o incluso a ambas, y sumarlas si quisiéramos. Al igual que la diferenciación parcial, también podemos adoptar la idea de integración parcial (no integración por partes), que es muy similar a las derivadas parciales. Sin hablar de la integral múltiple definida / indefinida de una función de variables múltiples que impondría la definición de un tipo de región específica para integrar. Simplemente podemos hablar de integral parcial / derivadas de hormigas sin lo anterior, dado que esta integración se define sobre una región rectangular general, que normalmente nunca tendrá que definir en una clase de ecuación diferencial estándar. Dicho esto, recuerde la noción de variable única de una integral donde tenemos una función f (x) = x ^ 2 e integrela con respecto a la variable independiente x, resultando en (1/3) x ^ 3 + C … Donde C es la constante arbitraria de integración. Tenga en cuenta que al hacer tales problemas, a menudo pasamos por alto la importancia de la variable dependiente y de lo que estamos integrando con respecto a esto, esto a menudo es el resultado del proceso en sí mismo, que es algo mecanicista y directo. Ahora veamos el caso multivariante donde tenemos una función definida por f (x, y) = x + y … De acuerdo, así que aquí está el trato, no podemos simplemente integrar esto sin determinar qué función queremos integrar con respecto a , “esto es muy parecido a la diferenciación parcial!” Supongamos que queremos integrarnos con respecto a y. Muy fácil, aplicamos la notación integral y damos una palmada al final de la función, indicando con qué variable se toma la operación con respecto. El resultado en este caso será xy + y ^ 2 + g (x) donde g (x) es una función constante de x. Esto es análogo a la idea de una constante de integración de y dada por la integración normal de una sola variable, excepto en el caso de funciones de variables múltiples que obtenemos una función. Es importante comprender que esta función desempeña un papel muy importante en términos de ecuaciones diferenciales y, en particular, de soluciones exactas y generales. Supongo que estás resolviendo ecuaciones diferenciales exactas. Bueno, si ese es el caso, muchas veces no será suficiente proporcionar una función potencial f (x, y) más una función constante f (x o y) = 0. Finalmente, tendrá que configurar una integral para determinar cuál es su función constante y luego volver a colocar el resultado en su solución final.

Answer 3

Si y no estuviera involucrado, su constante de integración sería una constante constante, un número. Pero dado que y está involucrado, esa constante podría depender de y, y por lo tanto la representamos como k (y). Y sí, k puede ser cualquier función.

Answer 4

Si.

Es cualquier función de y solo. Puede deducir esto diferenciando ‘u’ dada por la solución propuesta del libro de referencia.