¿Cuál es una forma intuitiva de explicar cómo funciona la “función de Green”?

Answer 1

Las funciones de Green son una forma de implementar el principio de Huygens (o el principio de Huygens-Fresnel) matemáticamente y pueden aplicarse en un contexto amplio.

La mayor parte de la física moderna se describe en términos de campos cuya dinámica está codificada en ecuaciones diferenciales parciales que describen cómo un campo responde a una fuente para ese campo. El ejemplo más común es el electromagnetismo donde tiene una carga que actúa como fuente del campo eléctrico.

Si apaga la fuente, estas ecuaciones diferenciales se llaman fuente libre (o libre) y se dice que los campos se “propagan libremente”, es decir, no están siendo influenciados por las fuentes. Huygens postuló / probó que se puede pensar que el campo se propaga en capas esféricas y que cada parte de la capa esférica resultante se puede ver como una fuente para crear un nuevo conjunto de capas esféricas. Al iterar, usted describe la configuración completa del campo.

El principio de Huygens es hermoso pero bastante engorroso y difícil de trabajar hasta que lo reformule en términos de las funciones de Green. Las funciones de Green le permiten resolver este procedimiento iterativo de emanación de capas esféricas en términos de una integral desagradable (que generalmente puede simplificarse realizando una transformación de Fourier o Laplace u otra transformación integral).

Moralmente, la ecuación diferencial que estás resolviendo es
[matemáticas] \ triángulo \ phi = J (x, t) [/ matemáticas]
donde [math] \ triangle [/ math] es algún operador diferencial.

La función de Green resuelve
[matemáticas] \ triángulo G (x, x ‘, t, t’) = \ delta (x -x ‘) \ delta (tt’) [/ matemáticas]
Luego, con algunos trucos, puedes resolver el campo como
[matemáticas] \ phi (x, t) = \ int dx’dt ‘G (x, x’, t, t ‘) J (x’, t ‘) [/ matemáticas].
Al actuar sobre esto con [matemáticas] \ triángulo [/ matemáticas], convertirá el lado izquierdo de la ecuación en el lado original y luego usará la definición de la función de Green para obtener una función delta que luego puede hacer la integral para volver al término original de la fuente.

Answer 2

tl; dr Son una herramienta que es útil para ocupar espacio en las tareas en los cursos de posgrado de física.

nota: no soy un experto ni nada, pero estoy respondiendo a anon ATA

Prácticamente solo entiendo las funciones de Green como una herramienta técnica que a veces es útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. Hacen esto al encontrar la solución a un solo “empuje” agudo en el sistema, y ​​luego usan esto para descubrir qué hace el sistema bajo una serie complicada de muchos empujes consecutivos diciendo “oh, eso es solo un montón de estos empujes individuales que Ya lo descubrí “.

Muchas veces en física, tenemos una ecuación como

D (respuesta) = fuente

donde D es un operador diferencial (una ley física), “respuesta” es el comportamiento de un sistema físico de interés (por ejemplo, el campo eléctrico), y “fuente” es una entrada especificada al sistema (por ejemplo, la distribución de carga).

Intentamos encontrar soluciones para

D (verde) = delta

con “delta”, una función delta de Dirac. Si lo hacemos, llamamos a esta solución la función de Green para el operador diferencial, y nos permite construir la solución para una fuente arbitraria a través de

respuesta = [matemática] \ int [/ matemática] verde * fuente

Por ejemplo, si tiene una masa en un resorte y alguien la empuja, podría tener una ecuación diferencial como

[matemáticas] m \ frac {d ^ 2} {dt ^ 2} x – kx = F (t) [/ matemáticas]

Aquí “D” es el operador [matemática] m \ frac {d ^ 2} {dt ^ 2} – k [/ matemática], que representa una masa que se mueve libremente en un resorte. “respuesta” es [matemática] x (t) [/ matemática], la ubicación de la masa en función del tiempo, y “fuente” es [matemática] F (t) [/ matemática], la forma arbitraria en la que empujar a la masa.

Si [math] F [/ math] es algo simple, como una onda constante o sinusoidal, podemos encontrar una solución a esta ecuación muy fácilmente. Pero si [matemáticas] F [/ matemáticas] es un desastre extraño, bueno, ¿qué vas a hacer?

Hay diferentes respuestas, pero generalmente intentan descubrir qué sucede con los tipos especiales de [matemáticas] F [/ matemáticas], luego unen estas soluciones usando la linealidad. Por ejemplo, puede resolverlo para que [math] F [/ math] sea una función senoidal, luego use el análisis de Fourier para construir el [math] F [/ math] que realmente le interesaba.

En el método de la función de Green, en lugar de construir [math] F [/ math] con ondas sinusoidales, lo construimos con rectángulos.

fuente: http://mathworld.wolfram.com/ima …

Si puede encontrar qué es [matemática] x [/ matemática] para solo uno de esos rectángulos (es decir, puede descubrir qué hace el resorte con un empuje corto y agudo), puede encontrarlo para cualquier otro rectángulo multiplicando y cambiando. Luego tenemos cien soluciones diferentes para el movimiento del resorte, una para cada rectángulo. Al sumar todas esas soluciones, obtenemos una solución para el movimiento del resorte bajo esa fuerza complicada.

Sin embargo, realmente no queremos rectángulos, ya que son solo una aproximación. Tomamos el límite a medida que los rectángulos se vuelven más y más estrechos. Esto se llama un delta de Dirac.

Resulta que para este ejemplo, si tienes

[matemáticas] g (t, t_0) = 0, t [matemáticas] g (t, t_0) = A \ sin \ omega (t-t_0), t> t_0 [/ matemáticas]

con [math] \ omega = \ sqrt {\ frac {k} {m}} [/ math], obtienes

[matemáticas] D (g) = A m \ omega \ delta (t – t_0) [/ matemáticas]

Si elegimos

[matemáticas] x (t) = \ frac {1} {A m \ omega} \ int g (t, t_0) F (t_0) dt_0 [/ matemáticas]

puedes aplicar D a ambos lados y ver que es una solución a la ecuación original.

El problema con todo esto es que obtuve “g” en lo anterior por magia, y por “magia” me refiero a Wikipedia. No conozco un método general para encontrar la función de Green para un operador diferencial dado. Por lo tanto, es útil si sabe cuál es la función de Green o si puede encontrarla; un buen ejemplo es el laplaciano, cuya función de Green es el potencial 1 / r de una partícula puntual, pero es solo una técnica entre muchas.

Answer 3

tl; dr: son solo respuestas de impulso a la ecuación de onda que describe las ondas electromagnéticas en el espacio (y el tiempo …).

La ecuación no homogénea de Helmholtz:
describe ondas EM en el espacio como resultado de fuentes de carga de corriente. La función de fuente espacial conduce a la creación de un campo espacial a través de esta ecuación. Si miramos esto desde una perspectiva de sistemas:

[math] f_ {k} (x) \ rightarrow A_ {k} (x) [/ math], siendo la operación lineal (combinaciones lineales de fuentes conducen a combinaciones lineales de campos resultantes) y shift invariante (una fuente desplazada en el espacio por algún vector de desplazamiento conduce al campo resultante que también se desplaza en el espacio por el mismo vector de desplazamiento). A partir de ideas de sistemas lineales básicos, se deduce que la operación desde la fuente hasta el campo puede representarse como una convolución con algún ‘núcleo’ o ‘respuesta de impulso’ en el espacio. Este núcleo de convolución se llama la función de Green.

(mi tipo de intuitivo = hablar de todo en términos de sistemas lineales o resistencias / condensadores / inductores, … y este enfoque a menudo tiene éxito)

Answer 4

Cuando pienso en las funciones de Green, me gusta pensar en el ejemplo arquetípico, la ecuación de Poisson para la gravedad. La función de Green del Laplaciano en el caso tridimensional es solo el potencial gravitacional newtoniano de una fuente puntual. El campo gravitacional de una distribución arbitraria de materia puede expresarse como la suma (o integral) de una gran cantidad de fuentes puntuales. Esto es posible porque la gravedad (newtoniana) es lineal: la suma de los campos gravitacionales de dos masas es el campo gravitacional de la suma de dos masas.

Generalmente, entonces, si conoce la solución en el caso de una fuente puntual y su operador diferencial es lineal, puede construir una solución para una distribución arbitraria de fuentes, al sumarlas / integrarlas. La solución de fuente puntual es la función de Green.

Más formalmente, la idea básica es que estamos tratando de resolver una ecuación diferencial lineal en la forma,

[matemáticas] D (f (x)) = p (x), [/ matemáticas]

donde [math] f (x) [/ math] es la función desconocida (de [math] x [/ math]; aquí, [math] x [/ math] puede representar una o más variables independientes) y [math] D [/ math] es un operador diferencial lineal arbitrario. Como el operador es lineal, las soluciones son aditivas. Si [math] p (x) [/ math] es una suma de otras dos funciones, entonces la solución será la suma de esas dos soluciones. Por ejemplo, si

[matemáticas] p (x) = q (x) + r (x), [/ matemáticas]
[matemáticas] D (e (x)) = q (x) [/ matemáticas]

y

[matemáticas] D (h (x)) = r (x) [/ matemáticas]

entonces

[matemáticas] f (x) = e (x) + h (x), [/ matemáticas]

ya que

[matemáticas] D (f (x)) = D (e (x) + h (x)) [/ matemáticas] [matemáticas] = D (e (x)) + D (h (x)) [/ matemáticas] [matemáticas] = q (x) + r (x) = p (x). [/ matemáticas]

Obviamente, si podemos dividir [math] p (x) [/ math] en una suma de dos funciones, también podemos convertirlo en una suma de tres funciones. O cien O un millón. En última instancia, podemos convertirlo en una suma infinita de cantidades infinitesimales, es decir, convertirlo en una integral. Ahora recuerde lo que sabemos sobre las integrales que involucran la función delta de Dirac:

[matemáticas] p (x) = \ int \ delta (y – x) p (y) dy. [/ matemáticas]
Esta expresión equivale a representar [math] p (x) [/ math] como una colección infinita de puntos.

La función de Green para el operador diferencial [matemática] D [/ matemática] es la función [matemática] g (x, y) [/ matemática] que satisface lo siguiente:

[matemáticas] D (g (x, y)) = \ delta (y – x). [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ int D (g (x, y)) p (y) dy = p (x). [/ matemáticas]

Sin embargo, el operador [matemática] D [/ matemática] es a) lineal, yb) actúa solo en [matemática] x [/ matemática], no [matemática] y [/ matemática], por lo tanto, puede tomarse fuera de la integral firmar:

[matemática] D (\ int g (x, y) p (y) dy) = p (x). [/ matemática]

Esto produce la solución de la ecuación diferencial en la forma,

[matemáticas] f (x) = \ int g (x, y) p (y) dy. [/ matemáticas]

Esta derivación más formal expresa la misma intuición que presenté en mi primer párrafo. Específicamente para la gravedad, [math] D [/ math] es el Laplaciano y [math] p ({\ mathbf r}) = 4 \ pi G \ rho ({\ mathbf r}) [/ math] donde [math] \ rho ({\ mathbf r}) [/ math] es la densidad de masa en la ubicación [math] {\ mathbf r} [/ math]:

[matemáticas] \ nabla ^ 2 \ phi ({\ mathbf r}) = 4 \ pi G \ rho ({\ mathbf r}). [/ math]

La función de Green para el laplaciano tridimensional es [math] -1/4 \ pi | {\ mathbf r} ‘- {\ mathbf r} | [/ math], y la solución es:

[matemáticas] \ phi ({\ mathbf r}) = -G \ int \ frac {\ rho ({\ mathbf r} ‘)} {| {\ mathbf r}’ – {\ mathbf r} |} d {\ mathbf r} ‘. [/ math]

Si [math] \ rho [/ math] es solo una fuente puntual, es decir, [math] \ rho ({\ mathbf r} ‘) = M \ delta ({\ mathbf r}’ – {\ mathbf r} _0) [/ math], entonces podemos integrar el lado derecho para obtener

[matemáticas] \ phi ({\ mathbf r}) = – \ frac {GM} {| {\ mathbf r} _0 – {\ mathbf r} |}, [/ math]

es decir, el potencial newtoniano habitual para una fuente puntual.

Answer 5

La función de Green esencialmente codifica la respuesta de un sistema a una función delta. Imagínelo como una forma de expresar una solución no homogénea para una PDE. Esto es esencialmente omnipresente en las PDE (es decir, resolver las ecuaciones de Maxwell) para generar expresiones de forma cerrada para un sistema con una ‘fuente’ arbitraria.

Un ejemplo simple es el Helmholtz (o ecuación de onda). Por lo general, ve el PDE como [math] (\ nabla ^ 2 + k ^ 2) \ phi (r) = \ rho (r) [/ math]. La versión de la función de Green es entonces [math] (\ nabla ^ 2 + k ^ 2) G (r, r_0) = \ delta (r, r_0) [/ math]. Por lo tanto, para cualquier fuente [math] \ rho (r) [/ math] puede escribir la solución simplemente como [math] \ phi (r) = \ phi_0 (r) + \ int (G (r, r_0) \ phi (r_0) d ^ 3 r_0) [/ math], donde [math] \ phi_0 (r) [/ math] representa una solución homogénea a la ecuación de Helmholtz.

La ecuación de Helmholtz también es un ejemplo con una forma analítica de la función de Green. Para obtenerlo se requiere una integración compleja, pero la idea principal es resolver la ecuación en el espacio de Fourier y luego tomar la transformada inversa de Fourier.

Answer 6

La respuesta de Jay es bastante buena, pero como muchas otras, creo que no señala la propiedad fundamental que conduce a las funciones de Green: el principio de superposición.

Un operador lineal [matemático] L_t [/ matemático] que actúa sobre [matemático] t [/ matemático] (en este caso, una ecuación diferencial lineal) obedece al principio de superposición (es la definición de “lineal”). Esto significa que el operador distribuye sobre combinaciones lineales,

[matemáticas] L_t g_1 (t) = h_1 (t), L_tg_2 (t) = h_2 (t) \ rightarrow \\ L_t \ left (a_1g_1 + a_2g_2 \ right) (t) = a_1L_tg_1 (t) + a_2 L_t g_2 ( t) = a_1h_1 (t) + a_2h_2 (t) [/ math]

en general

[matemática] \ sum_x {a_x L_t g_x (t)} [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] \ sum_x {a_xh_x (t)} [/ matemática]

y esto es válido incluso para integrales (que son como la forma continua de una combinación lineal)

[matemáticas] \ left (\ int_x {a (x) L_t g (t, x)} \ right) = L_t [/ math] [matemáticas] \ left (\ int_x {a (x) g (t, x)} \ right) = \ int_x a (x) h (t, x) [/ math]

Ahora digamos que queremos resolver el problema

[matemáticas] L_t f (t) = a (t) [/ matemáticas]

podemos identificar

[matemáticas] a (t) = \ int_x a (x) h (t, x) [/ matemáticas]

[matemáticas] f (t) = \ int_x a (x) g (t, x) [/ matemáticas]

cualquier [matemática] h (t, x) [/ matemática] y [matemática] g (t, x) [/ matemática] que satisfaga estas igualdades le dará una solución a su problema. La primera igualdad se puede resolver usando [math] h (t, x) = \ delta (tx) [/ math],

[matemáticas] \ int_x a (x) \ delta (tx) = a (t) [/ matemáticas]

Esto dice que nuestra entrada [math] a (t) [/ math] puede escribirse como la superposición de todos sus valores locales (que son infinitos). Quizás la forma discreta sea más amigable,

[matemáticas] \ sum_x a_x \ delta_ {xt} = a_t [/ matemáticas]

Del principio de superposición establecido anteriormente, concluimos que

[matemática] L_t g (t, x) = \ delta (tx) [/ matemática] [matemática] [/ matemática]

y podemos interpretar esto de la siguiente manera: la función de Green [matemáticas] g (t, x) [/ matemáticas] es la solución al problema original cuando la fuente está extremadamente localizada; tan localizado que no es cero en un solo punto [math] t = x [/ math]. Entonces, al saber cómo responde el operador a una entrada tan singular (la fuente es un delta), podemos sumar todas estas respuestas desde la respuesta a cualquier entrada.

Answer 7

Responder:

3 × 12 = 3 × 10 + 3 × 2, aritmética!

Yo era uno de esos niños raros que disfrutaban las matemáticas. Recuerdo, quizás en segundo grado, cuando supimos que podías multiplicar números grandes haciendo sumas muchas veces. ¡Creo que estas cosas de matemáticas son increíbles!

Las funciones de Green son la resolución de ecuaciones diferenciales lineales integrales o parciales como la aritmética es la multiplicación.

Y por la misma razón: superposición lineal!

¡Juego terminado! ¡Salud!

Answer 8

Es una forma simple y matemática de introducir condiciones en ecuaciones lineales: cuenta A si B. La condición B se pone en una función de Green.

Por ejemplo, al calcular la intensidad de un campo A en un punto del espacio, agréguelo si el punto está (B) debidamente distanciado y retrasado de la fuente del campo.

Answer 9

Tengo un blog sobre ecuaciones diferenciales parciales. La función de Green, una forma de verlo, está en una solución que hice aquí [1]

Para las funciones verdes generalizadas, representa el flujo de calor en estado estable con la fuente de calor [matemática] – \ delta (x-x_ {0}) [/ matemática] aislada en [matemática] x = 0 [/ matemática] con flujo de calor correcto en [matemáticas] x = L [/ matemáticas] en [matemáticas] -c [/ matemáticas]

es decir, representa una fuente instantánea de flujo de calor para la solución de estado estable.

Notas al pie

[1] Ecuaciones diferenciales parciales

Answer 10

La función verde o la función verde básicamente le da la respuesta producida en el sistema físico debido a una fuente de función delta. En un sistema espacial dependiente del tiempo, esto significa que una función verde le muestra la respuesta de todo el sistema cuando lo pellizca. Por ejemplo, golpear un colchón con un martillo en algún momento envía un pulso por todo el colchón. Otro buen ejemplo es tirar una piedra a un lago y anotar cómo viajan las ondas y usar eso como una forma de averiguar la respuesta ante cualquier perturbación arbitraria, digamos gotas de lluvia o un gato. 🙂

Answer 11

Imagine una ecuación diferencial lineal que no sea homogénea, como [matemática] Lu = f [/ matemática] donde [matemática] L [/ matemática] es un operador diferencial, como, digamos, Laplaciano [matemática] \ nabla ^ 2 [/ matemática ] [matemáticas] [/ matemáticas] y [matemáticas] f [/ matemáticas] el forzamiento. Ahora haga esta pregunta: ¿a qué función tengo que aplicar el mismo operador diferencial [matemática] L [/ matemática], de modo que el lado derecho se vuelva “impulsivo” (infinito en un punto o tiempo dado pero cero en todas partes) a función delta, como [math] \ delta (xx ‘) [/ math] en lugar de [math] f [/ math]? La respuesta es la buena función de Green [matemática] G (x, x ‘) .. [/ matemática] Entonces, esta función resuelve la ecuación diferencial solo para un forzamiento concentrado en el punto [matemática] x’ [/ matemática] y en ninguna parte más. Pero cualquier fuente puede representarse realmente como una combinación lineal de tales fuentes, por lo que debido a la linealidad del operador, cuando convolucionas la fuente con la función Verdes y calculas la integral, obtienes la solución. Muy fresco y fácil siempre que la función del Green no sea complicada

Answer 12

Creo que te refieres a la función de Green.

Es una solución a una ecuación diferencial ordinaria o parcial a una función de excitación o forzamiento de punto, una función delta de Dirac.

Esto es útil porque le permite calcular la respuesta de funciones de forzamiento más complejas utilizando integrales de convolución.