¿Cuál es la diferencia entre d2x / dt y dx2 / dt? ¿Puedes dar un ejemplo del mundo real?

Answer 1

La primera expresión es extraña, cuando la descompones, y no expresa nada muy útil en el mundo real. Al usar las ideas fundamentales de los diferenciales, puede diseccionar estas expresiones en sus partes:
[matemáticas] \ frac {d ^ 2x} {dt} = \ frac {d} {dt} \ left (dx \ right) [/ math]

[matemáticas] \ frac {dx ^ 2} {dt} = \ frac {d} {dt} \ left (x ^ 2 \ right) = 2x \ frac {dx} {dt} [/ math]

El primero es una derivada en el tiempo de una pieza infinitesimalmente pequeña de x. No puedo pensar en un solo caso en el que sea útil.
La segunda es la primera derivada de la función “x ^ 2” que está bajo el alcance de la regla de la cadena. La expresión limita la posible función bajo el alcance de la derivada, y x ^ 2 está lejos de ser la función más comúnmente vista en la vida.

Así que no estoy seguro de a qué estás tratando de llegar al querer un “ejemplo del mundo real” de la diferencia entre los dos. Uno es (AFAIK) nunca usado en el “mundo real”, y el segundo es (nuevamente, AFAIK) raramente usado en el “mundo real”.

Por favor aclarar en los comentarios.

Answer 2

Estrictamente hablando, [matemáticas] \ frac {d ^ 2x} {dt} [/ matemáticas] no tiene sentido. Tiene la primera derivada de [matemática] x [/ matemática] con respecto a [matemática] t [/ matemática], que es [matemática] \ frac {dx} {dt} [/ matemática] y luego tiene la segunda derivada de lo mismo, que es [matemáticas] \ frac {d ^ 2 x} {dt ^ 2} [/ matemáticas] que no es más que la derivada de la derivada. El ejemplo más simple que se me ocurre es el de la distancia, la velocidad (velocidad) y la aceleración. Imagínese en un automóvil en movimiento con un velocímetro. Deje que [math] x [/ math] represente la distancia que viaja, con respecto a alguien en el suelo. Ahora su velocidad no es más que la distancia recorrida en una unidad de tiempo que viene dada por [math] v = \ frac {dx} {dt} [/ math]. Esto es exactamente lo que muestra el velocímetro en su automóvil y tenga en cuenta que esta es una cantidad siempre cambiante. Entonces, si observa la tasa de cambio de velocidad en el tiempo, obtendrá una aceleración que no es más que [matemáticas] a = \ frac {dv} {dt} = \ frac {d} {dt} (\ frac {dx } {dt}) = \ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} [/ math]. De hecho, si lo piensa, la forma en que usualmente manejamos, nuestra aceleración también es una cantidad cambiante con respecto al tiempo. Podrías seguir adelante e incluso definir una tasa de tiempo de cambio de aceleración. Alguien ya lo hizo y lo llamó ‘idiota’ (¿puedes creerlo?). Eso sería matemáticamente dado por [matemáticas] \ frac {da} {dt} = \ frac {d ^ 3x} {dt ^ 3} [/ matemáticas]

Answer 3

Esta notación puede ser confusa al principio, y hay otras mejores como [matemática] D [/ matemática] para derivada y [matemática] D ^ 2 [/ matemática] para la segunda derivada. Pero desafortunadamente, los matemáticos aman sus tradiciones.

De todos modos, [math] \ frac {d \ big (x ^ 2 \ big)} {dt} [/ math] significa “Encuentre el cuadrado de la variable [math] x [/ math] y luego encuentre su derivada con respecto a [matemáticas] t. [/ matemáticas]

[math] \ frac {d ^ 2 \ big (x \ big)} {dt ^ 2} [/ math] significa “Encuentre la segunda derivada de [math] x [/ math] con respecto a [math] t [/ matemáticas].

Es mejor pensar en todo este

[matemáticas] \ frac {d} {dt} [/ matemáticas]

cosa como un solo operador que hace una sola cosa. Luego verá que con una notación más razonable, uno se vería así:

[matemáticas] F (G (x)) [/ matemáticas]

En otras palabras, haces algo a [matemáticas] x [/ matemáticas] y luego algo más. Mientras que el otro sería

[matemáticas] F (F (x)) [/ matemáticas]

Es decir, haces algo a [matemáticas] x [/ matemáticas] dos veces.