Neurociencia computacional: ¿Cuál es la diferencia entre modelar una red de neuronas usando ecuaciones diferenciales y usando álgebra de matriz lineal?

Answer 1

Cuando las personas usan ecuaciones diferenciales, les interesa la dinámica. Cuando usan álgebra lineal, están interesados ​​en la estructura representativa.

Las ecuaciones diferenciales son ideales para modelar cosas como la evolución de variables continuas en el tiempo y también sistemas con retroalimentación. A menudo se usan para modelar las partes internas de una sola neurona.

El álgebra lineal es ideal para modelar probabilidades y estadísticas en una gran cantidad de variables idénticas, como un grupo de neuronas en una red, un conjunto de pesos de conexión o probabilidades abstractas que pueden no corresponder directamente a las neuronas.

Desafortunadamente, los picos generados por las neuronas reales arrojan una llave en ambos tipos de modelos. Y las redes de retroalimentación con picos, como las que se encuentran en el cerebro, son extraordinariamente difíciles de manejar. Es posible que se necesite un nuevo tipo de matemática para manejar este tipo de redes, pero por ahora la gente se las arregla con álgebra lineal.

Answer 2

Descargo de responsabilidad: mi experiencia es química computacional en lugar de neurociencia computacional.

Las ecuaciones diferenciales son una forma general de definir la dinámica de una red neuronal. En un lado de la ecuación, por ejemplo, puede tener la tasa de cambio de diferentes variables, mientras que en el otro lado, puede tener una función de cualquier número de variables. Estas funciones pueden ser bastante complejas.

El álgebra matricial proporciona una forma de resolver estas ecuaciones diferenciales en caso de que las funciones subyacentes sean lineales. Esa sería la dinámica de decir una pelota unida a un resorte. Si lo empujas un poco, empuja hacia atrás. Lo empujas el doble, empuja hacia atrás dos veces más fuerte.

El álgebra matricial puede manejar grandes cantidades de variables, todas unidas linealmente, como un montón de bolas unidas por un desastre de resortes o un bloque elástico de gelatina. Puede ver todos los diferentes tipos de ondas que se propagan a través del sistema, qué tan rápido se mueven, qué tan alto se elevan, etc.

La mayoría de los sistemas son lineales para pequeños cambios. Entonces, el álgebra matricial puede proporcionar una descripción agradable de “primer orden” de cómo se interrelacionan las variables. Sería como ver cuán estable es un automóvil balanceándolo un poco sobre sus ruedas. Al menos puede probar la suspensión.

Pero todo el comportamiento interesante de las neuronas, como los picos y los umbrales y los códigos de disparo y las correlaciones, etc., ocurren en regímenes altamente no lineales. En esas circunstancias, todas las apuestas se realizan con un modelo lineal, y debemos confiar en resolver numéricamente las ecuaciones diferenciales. Para extender la analogía del automóvil, eso es como poner la llave en el encendido y conducirlo por la carretera.

Velocidad: la resolución numérica de ecuaciones diferenciales es lenta, ya que debe hacerlo para cada intervalo de tiempo en un sistema. Sin atajos (excepto para funciones muy simples). Los métodos de álgebra matricial pueden ser mucho más eficientes, ya que solo necesita hacerlo una vez, y luego tiene la dinámica en cada momento. Pero solo es aplicable en circunstancias simples, como las descritas anteriormente.