¿Es dx / dt solo un símbolo, o puedo multiplicar una ecuación por dt o dividirla por dx? ¿Hay alguna situación en la que sea útil?

En general, no está bien ver [math] dx / dt [/ math] como una “fracción”.

Cuando se trata de funciones de una sola variable, quizás a veces (?) De alguna manera (?) Esté bien ver [math] dx / dt [/ math] como una “fracción”. Por ejemplo, si [matemática] x [/ matemática] es una función de [matemática] t [/ matemática] y [matemática] t [/ matemática] es una función de [matemática] s [/ matemática], entonces la “fracción” la interpretación produce la regla de la cadena: [matemática] \ frac {dx} {ds} = \ frac {dx} {dt} \ cdot \ frac {dt} {ds} [/ math] (aquí puedes imaginar “cancelar” el [ math] dt [/ math] ‘s). Otro ejemplo sería la fórmula [math] \ int \ frac {dy} {dx} dx = \ int dy [/ math] (aquí puede imaginarse “cancelando” los [math] dx [/ math] ‘s).

Por lo tanto, la notación “fraccionaria” se puede usar como un mnemónico útil para recordar este tipo de fórmulas. Sin embargo, en el enfoque “tradicional” y “estándar” del cálculo (el enfoque épsilon-delta desarrollado por Cauchy y Weierstrass y otros), la prueba rigurosa de tales fórmulas no se sigue por tan simples “cancelaciones” fraccionales. Por otro lado, aunque nunca los he estudiado, creo que es posible desarrollar marcos de cálculo “no estándar” alternativos en los que uno puede tratar los derivados como una especie de fracción. Y así , en principio, se puede probar rigurosamente tales fórmulas de esta manera, al menos dentro de estos marcos alternativos. Una posible desventaja de estos marcos alternativos es que posiblemente sean más complicados y difíciles de desarrollar. También pueden no generalizarse tan fácilmente o tan fácilmente como el marco estándar. Por favor corrígeme si estoy equivocado acerca de esto.

Una razón quizás más importante para no tomarse demasiado en serio la notación de “fracción” es la siguiente: una vez que ingresa al mundo de las funciones de más de una variable, la ingenua interpretación de la “fracción” simplemente deja de funcionar. Por ejemplo, suponga que [matemática] z [/ matemática] es una función de [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática], y suponga que [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ math] son ​​ambas funciones de [math] t [/ math]. Luego tenemos la regla de la cadena multivariada: [matemática] \ frac {\ partial z} {\ partial t} = \ frac {\ partial z} {\ partial x} \ cdot \ frac {\ partial x} {\ partial t} + \ frac {\ partial z} {\ partial y} \ cdot \ frac {\ partial y} {\ partial t} [/ math]. Si estas derivadas fueran “fracciones”, entonces el lado derecho de esta ecuación se simplificaría a [matemáticas] 2 \ frac {\ partial z} {\ partial t} [/ matemáticas], que no coincide con el lado izquierdo de la ecuación.

Los científicos e ingenieros también usan funciones multivariadas, por lo que también deben tener cuidado al tratar los derivados como “fracciones”.

No es “dx dividido por dt”, se puede pensar mejor en una operación: “d / dt” aplicado a x. La operación inversa es la integral con respecto a t, pero como la diferenciación le indica la pendiente de una curva en un punto, pierde su coordenada y, por lo que no hay forma de que la integral pueda recuperar toda la información perdida en el proceso de integración.

Su confusión puede deberse al hecho de que hay una convención que usamos:

[matemáticas] \ int \ left (\ frac {d} {dt} f (t) \ right) dt = \ int d (f (t)) = f (t) + C [/ math]

Esto no es división , solo una notación para la operación inversa.

Actualmente estoy tomando un curso en Cálculo ofrecido en Coursera ofrecido por el profesor Robert Ghrist de la Universidad de Pennsylvania y yo también tuve la misma consulta con respecto al significado de las cantidades [math] dx [/ math] y [math] dt [/ math] . Bueno, lo que pude entender es que hay 2 perspectivas bien definidas para verlo. Una perspectiva dice que los símbolos como [math] dx [/ math] o [math] dt [/ math] representan infinitesimales que son pequeños bits de [math] x [/ math] o [math] t [/ math] que cuando están integrados danos [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] t [/ matemáticas] es decir [matemáticas] \ int dx = x [/ matemáticas] o [matemáticas] \ int dt = t [/ matemáticas] y esto es un perfecto forma razonable de pensar sobre estos símbolos

La segunda perspectiva es mirar estos símbolos desde el punto de vista de las tasas de cambio para que podamos aplicar la Regla de Cadena de Diferenciación de la siguiente manera:

[matemática] dx = (dx / dt) \ veces dt [/ matemática] es decir, dx, que es la tasa de cambio de x se puede definir en términos de tasa de cambio de x wrt t veces tasa de cambio de t . Esta también es una buena forma de ver los símbolos, pero solo es aproximada y no precisa. Sin embargo, estos símbolos se entienden mejor como formas diferenciales que son ampliamente aplicables en los campos de la física, la topología y la geometría, consulte este enlace para obtener más información: forma diferencial y también ayuda en la técnica de diferenciación implícita en el cálculo de variable única. Por lo tanto, hay mucho más significado adjunto a estos símbolos que al principio puede parecer un poco complejo, pero seguramente no puede usar estos símbolos salvajemente para multiplicar ecuaciones con estas cantidades; debe saber qué está haciendo exactamente; de ​​lo contrario, se oscurecerá de la solución.