En general, no está bien ver [math] dx / dt [/ math] como una “fracción”.
Cuando se trata de funciones de una sola variable, quizás a veces (?) De alguna manera (?) Esté bien ver [math] dx / dt [/ math] como una “fracción”. Por ejemplo, si [matemática] x [/ matemática] es una función de [matemática] t [/ matemática] y [matemática] t [/ matemática] es una función de [matemática] s [/ matemática], entonces la “fracción” la interpretación produce la regla de la cadena: [matemática] \ frac {dx} {ds} = \ frac {dx} {dt} \ cdot \ frac {dt} {ds} [/ math] (aquí puedes imaginar “cancelar” el [ math] dt [/ math] ‘s). Otro ejemplo sería la fórmula [math] \ int \ frac {dy} {dx} dx = \ int dy [/ math] (aquí puede imaginarse “cancelando” los [math] dx [/ math] ‘s).
Por lo tanto, la notación “fraccionaria” se puede usar como un mnemónico útil para recordar este tipo de fórmulas. Sin embargo, en el enfoque “tradicional” y “estándar” del cálculo (el enfoque épsilon-delta desarrollado por Cauchy y Weierstrass y otros), la prueba rigurosa de tales fórmulas no se sigue por tan simples “cancelaciones” fraccionales. Por otro lado, aunque nunca los he estudiado, creo que es posible desarrollar marcos de cálculo “no estándar” alternativos en los que uno puede tratar los derivados como una especie de fracción. Y así , en principio, se puede probar rigurosamente tales fórmulas de esta manera, al menos dentro de estos marcos alternativos. Una posible desventaja de estos marcos alternativos es que posiblemente sean más complicados y difíciles de desarrollar. También pueden no generalizarse tan fácilmente o tan fácilmente como el marco estándar. Por favor corrígeme si estoy equivocado acerca de esto.
Una razón quizás más importante para no tomarse demasiado en serio la notación de “fracción” es la siguiente: una vez que ingresa al mundo de las funciones de más de una variable, la ingenua interpretación de la “fracción” simplemente deja de funcionar. Por ejemplo, suponga que [matemática] z [/ matemática] es una función de [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática], y suponga que [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ math] son ambas funciones de [math] t [/ math]. Luego tenemos la regla de la cadena multivariada: [matemática] \ frac {\ partial z} {\ partial t} = \ frac {\ partial z} {\ partial x} \ cdot \ frac {\ partial x} {\ partial t} + \ frac {\ partial z} {\ partial y} \ cdot \ frac {\ partial y} {\ partial t} [/ math]. Si estas derivadas fueran “fracciones”, entonces el lado derecho de esta ecuación se simplificaría a [matemáticas] 2 \ frac {\ partial z} {\ partial t} [/ matemáticas], que no coincide con el lado izquierdo de la ecuación.
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Los científicos e ingenieros también usan funciones multivariadas, por lo que también deben tener cuidado al tratar los derivados como “fracciones”.