En las transformadas de Fourier, ¿se puede analogizar el espacio de momento con la frecuencia y el espacio de posición con la longitud de onda?

Answer 1

Comencemos con la radiación electromagnética (y otros fenómenos de ondas físicas). La frecuencia [matemática] f [/ matemática] está directamente relacionada con la longitud de onda [matemática] \ lambda [/ matemática] a través de la fórmula [matemática] f = v / \ lambda [/ matemática], donde [matemática] v [/ matemática ] es la velocidad de propagación de la onda (para ondas electromagnéticas, la velocidad de la luz). Por lo tanto, [math] f [/ math] y [math] \ lambda [/ math] son ​​meros valores recíprocos, y una función de uno de ellos puede convertirse en una función del otro mediante un mapeo simple. Sin embargo, la transformada de Fourier tomará la distribución de, por ejemplo, la intensidad sobre las longitudes de onda a una distribución de intensidad sobre la posición en el espacio. El tiempo y la frecuencia son otro “par de transformadas de Fourier”. Llamémoslas variables conjugadas, que creo que es apropiado.

Para cualquier variable continua [matemática] A [/ matemática] y función [matemática] f (A) [/ matemática] (que satisface algunas restricciones), puede obtener una transformada de Fourier [matemática] \ hat {f} (B) [/ matemática] en el espacio de la variable [matemática] B [/ matemática] que se conjuga con [matemática] A [/ matemática]. La transformación de Fourier es una medida de la frecuencia con que se repite en la función [math] A [/ math] -space. Si lo hace después de una “distancia” [matemática] a [/ matemática], [matemática] \ hat {f} (b) [/ matemática] obtiene un pico en [matemática] b = 1 / a [/ matemática]. (Se puede incluir un factor de [matemática] 2 \ pi [/ matemática] dependiendo de la normalización).

La transformación no es tan misteriosa, pero es muy útil. En el caso especial de las ondas de materia en la mecánica cuántica, resulta que las partículas tienen longitudes de onda que dependen del momento, de manera que el momento se conjuga con la posición de la partícula. La energía (proporcional a la frecuencia) y el tiempo están relacionados de la misma manera. La transformada de Fourier de una imagen será una distribución sobre las longitudes de onda (en realidad, los números de onda [matemática] k = 2 \ pi / \ lambda [/ matemática]), ya que la imagen es una distribución en el espacio de posición. En este caso, el impulso no tiene nada que ver con la imagen, ya que no existe una ecuación dinámica que indique que los valores de brillo se moverán. Las matemáticas son universales, pero la interpretación en términos de variables físicas depende del sistema que esté viendo.