Problemas inversos: Dada una familia de valores propios, ¿es posible encontrar la forma de las ecuaciones cuyos valores propios son?

Answer 1

Si conoce los valores propios y los vectores propios para un operador diagonalizable, puede especificar completamente el operador lineal:
[matemáticas]
\ mathcal {O} = \ sum_i | e_i \ rangle \ lambda_i \ langle e_i |
[/matemáticas]
donde [math] \ lambda_i [/ ​​math] es el valor propio asociado con el vector propio [math] | e_i \ rangle [/ math], [math] \ langle e_i | [/ math] es su vector dual, y la normalización del eigenvectors es [matemáticas] \ langle e_i | e_i \ rangle = 1 [/ math].

Sin embargo, si no conoce los vectores propios correspondientes a los valores propios, no veo cómo puede precisar la “orientación” del operador, es decir, creo que podría encontrarlo hasta una transformación unitaria, pero usted no sabría cuál fue esa transformación unitaria. Una condición suficiente para la diagonalización es si los valores propios son distintos.

EDITAR: Gracias a Stephan Hoyer por señalar que no todos los operadores se pueden diagonalizar.

Answer 2

Puedo estar malinterpretando su pregunta; sin embargo, si asume que los valores propios son distintos, puede determinar el polinomio característico

[matemáticas]
p (\ lambda) = \ prod (\ lambda – \ lambda_i)
[/matemáticas]

Ahora, esto no identifica de manera exclusiva la matriz exacta que desea, pero le dará una familia de matrices que también tienen este polinomio característico, como para cualquier matriz [matemática] A [/ matemática], todas las matrices que son similares a [matemática] A [/ matemáticas], es decir. el conjunto de matrices [matemáticas] QAQ ^ {- 1} [/ matemáticas], tendrá los mismos valores propios.

Answer 3

En realidad, hay un gran cuerpo de teoría sobre este problema, especialmente en Mecánica Cuántica y Teoría de Soliton. Echa un vistazo, por ejemplo, a la transformación de dispersión inversa