Cómo encontrar la solución general a la ecuación dy / dx = 2 ((y + 2) / (x + y-1)) ^ 2

Answer 1

Dado:

[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = 2 \ left (\ frac {y + 2} {x + y-1} \ right) ^ 2} [ /matemáticas]

Observe que ambos términos [matemáticas] (y + 2) [/ matemáticas] y [matemáticas] (x + y-1) [/ matemáticas] desaparecen en el punto [matemáticas] (x_0, y_0) = (3, -2) [ /matemáticas]. De modo que al introducir [matemáticas] X = x-3 [/ matemáticas] y [matemáticas] Y = y + 2 [/ matemáticas] se puede obtener:

[matemática] \ matemática {d} X = \ matemática {d} x, \ matemática {d} Y = \ matemática {d} y [/ matemática] y

[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {y + 2} {x + y-1} = \ frac {Y} {X + 3 + Y-2 -1} = \ frac {Y} {X + Y}} [ /matemáticas]

Entonces:

[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} Y} {\ mathrm {d} X} = 2 \ left (\ frac {Y} {X + Y} \ right) ^ 2} [/ math]

Deje [math] Y = uX [/ math] la ecuación ahora es fácil de resolver. De hecho, uno puede obtener:

[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} Y} {\ mathrm {d} X} = X \ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} X} + u} [/ math ]

así que eso:

[matemática] \ displaystyle {{X \ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} X} + u = \ frac {2u ^ 2} {(1 + u) ^ 2}}} [/ math ]

entonces

[matemáticas] \ displaystyle {X \ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} X} = – \ frac {u + u ^ 3} {(1 + u) ^ 2}} [/ math]

o

[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} X} {\ mathrm {X}} = – \ frac {\ mathrm {d} u} {u} – \ frac {\ mathrm {d} u} { 1 + u ^ 2}} [/ matemáticas]

La integración de esta ecuación da:

[matemáticas] \ displaystyle {\ mathrm {ln} | X | = – \ mathrm {ln} | u | -2 \ mathrm {tan} ^ {- 1} u + \ text {CONSTANT}} [/ math]

Volviendo a las variables originales proporciona la solución general dada como:

[matemáticas] \ displaystyle {\ mathrm {ln} | x-3 | + \ mathrm {ln} \ left | \ frac {y + 2} {x-3} \ right | + 2 \ mathrm {tan} ^ {- 1} \ left (\ frac {y + 2} {x-3} \ right) = \ text {CONSTANT}} [/ math]

finalmente

[matemáticas] \ displaystyle {\ mathrm {ln} | y + 2 | + 2 \ mathrm {tan} ^ {- 1} \ left (\ frac {y + 2} {x-3} \ right) = \ text {CONSTANT} \ qquad \ square} [/ math]

Answer 2

* A2A

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {2 (y + 2) ^ 2} {(x + y-1) ^ 2} \\\ dfrac {dx} {dy} = \ dfrac {( x + y-1) ^ 2} {2 (y + 2) ^ 2} = \ dfrac {1} {2} \ cdot \ left (\ dfrac {x-3} {y + 2} +1 \ right) ^ 2 \\\ dfrac {dx} {dy} = \ dfrac {1} {2} \ dfrac {(x-3) ^ 2} {(y + 2) ^ 2} + \ dfrac {x-3} { y + 2} + \ dfrac {1} {2} \\\ text {Let} v = \ dfrac {y + 2} {x-3} \ tag * {} [/ math]

---

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = v + (x-3) \ dfrac {dv} {dx} \\\ text {La ecuación se convierte en ….} \\\ dfrac {1} {v + (x-3) \ dfrac {dv} {dx}} = \ dfrac {1} {2v ^ 2} + \ dfrac {1} {v} + \ dfrac {1} {2} \\\ dfrac {1} {v + (x- 3) \ dfrac {dv} {dx}} = \ dfrac {v ^ 2 + 2v + 1} {2v ^ 2} \\ v + (x-3) \ dfrac {dv} {dx} = \ dfrac {2v ^ 2} {v ^ 2 + 2v + 1} \\ (x-3) \ dfrac {dv} {dx} = \ dfrac {2v ^ 2- (v ^ 3 + 2v ^ 2 + v)} {v ^ 2 + 2v + 1} \\ (x-3) \ dfrac {dv} {dx} = \ dfrac {-v ^ 3-v} {v ^ 2 + 2v + 1} \\\ displaystyle – \ int \ dfrac { v ^ 2 + 2v + 1} {v (v ^ 2 + 1)} \ mathrm {dv} = \ int \ dfrac {dx} {x-3} \\\ displaystyle \ int \ dfrac {1} {v} + \ dfrac {2} {v ^ 2 + 1} \ mathrm {dv} = \ int \ dfrac {\ mathrm {dx}} {3-x} \\\ ln | v | +2 \ arctan v = – \ ln | 3-x | + C \\\ en caja {\ ln \ left | \ dfrac {y + 2} {x-3} \ right | +2 \ arctan \ left (\ dfrac {y + 2} {x- 3} \ right) + \ ln | 3-x | = C} \ tag * {} [/ math]

---

La misma solución se puede resolver así …

[matemáticas] \ displaystyle – \ int \ dfrac {v ^ 2 + 2v + 1} {v (v ^ 2 + 1)} \ mathrm {dv} = \ int \ dfrac {\ mathrm {dx}} {x-3 } \\\ displaystyle \ int- \ dfrac {1} {v} – \ dfrac {2} {v ^ 2 + 1} \ mathrm {dv} = \ int \ dfrac {\ mathrm {dx}} {x-3 } \\ – \ ln | v | -2 \ arctan v = \ ln | x-3 | + C \\ – \ ln \ left | \ dfrac {y + 2} {x-3} \ right | -2 \ arctan \ left (\ dfrac {y + 2} {x-3} \ right) – \ ln | x-3 | = C \\ – \ ln | y + 2 | + \ ln | x-3 | -2 \ arctan \ left (\ dfrac {y + 2} {x-3} \ right) – \ ln | x-3 | = C \\\ en caja {\ ln | y + 2 | +2 \ arctan \ left (\ dfrac {y + 2} {x-3} \ right) = K} \ tag * {} [/ math]

Esto es lo que nos da WolframAlpha