¿Por qué los matemáticos estudian ecuaciones diferenciales parciales?

Answer 1

Como estudiante de métodos numéricos para resolver PDEs, diría que las personas que los estudian los encuentran bastante hermosos. Al describir su hermosa naturaleza, diría que generalmente representan algún tipo de problema físico, químico, biológico, etc. Piensa en lo sorprendente que es conocer el agujero negro usando ciertas ecuaciones, o las corrientes de convección, el cambio climático usando solo un conjunto de ecuaciones. Aunque la mayoría de las ecuaciones son difíciles, es impresionante. Dicen mucho sobre el proceso que está viendo, qué esperar, qué no hacer, etc. Las PDE también requieren que tenga conocimiento de álgebra lineal, cálculo, a veces geometría y topología.

Entonces, es como si la “Reina de la Ciencia” (Matemáticas) tuviera un regalo envuelto en papeles muy coloridos y brillantes y cuando sabes que el regalo es algo increíble y emocionante, ¿por qué no abrirlo y perderte en la hermosa y sorprendente sensación?

Answer 2

La mayoría de las PDE provienen de la física matemática, pero hay otras aplicaciones en campos como la geometría y la topología y las finanzas.

Algunos ejemplos de aplicaciones de PDE son

Ricci Flow, que son PDE parabólicas que describen la deformación de la métrica para el colector de Riemann.

La teoría de las funciones armónicas que se basa en Laplace PDE Δu = 0.

El teorema del índice Atiyah-Singer conecta el análisis de operadores diferenciales elípticos con la topología de múltiples compactos lisos.

La ecuación de superficie mínima, una de las muchas PDE que surgen en geometría diferencial.

Varios de los resultados óptimos del tipo de filtrado se abordan formando un costo funcional y reduciendo el problema a un PDE de Euler-Lagrange.

En cierto sentido, todo el campo del análisis complejo se reduce a comprender genuinamente las soluciones para un PDE.

Calor, onda, Schrödinger, KdV, ecuación de onda de agua, Navier-Stokes, Helmholtz, …, las ecuaciones son objetos bastante importantes en Física Matemática y todas son PDE.

Otros ejemplos incluyen la teoría de Hodge-deRham, el teorema de inclusión de Nash, el teorema de Calabi-Yau, el teorema de la masa positiva, el teorema de Yamabe, la teoría de Donaldson de 4 múltiples lisos, la estabilidad no lineal del espacio-tiempo de Minkowski, la desigualdad de Penrose de Riemann, la conjetura de Poincaré en 3D y el teorema de la esfera diferenciable.

De la gran cantidad de ejemplos mencionados, está claro por qué el estudio de PDEs es importante para los matemáticos.

Answer 3

1) Son bastante hermosos y útiles en problemas matemáticos.
2) Modelan muchos procesos del mundo real, desde la propagación de epidemias hasta los comportamientos cuánticos, la mayoría de los problemas de ingeniería y el flujo de sangre / agua en 3 dimensiones.
3) También son útiles en técnicas de suavizado en aprendizaje automático / estadísticas, análisis espectral de señales y algoritmos de gráficos de desarrollo.