Para tener éxito en matemáticas y cálculo, ¿es necesario comprender todos los métodos posibles para factorizar polinomios?

Answer 1

El factoring está excesivamente sobrevalorado, y su importancia en matemáticas es en gran medida una “invención” del siglo XX. Antes de ese momento, el factoring más importante que le importaba a alguien era eliminar un factor común; nada de esto “Factor [matemática] x ^ {2} – x – 6 [/ matemática]” sin sentido. (Si quieres más detalles, aquí hay una charla que di sobre el tema hace algunos años …)

Dicho esto, hay dos ideas importantes:

• El teorema del factor: si [math] x = a [/ math] es una raíz, entonces [math] x – a [/ math] es un factor. De hecho, durante el siglo XIX, era muy común encontrar las raíces de un polinomio para factorizarlo. No factorizaste para resolver ecuaciones; resolviste ecuaciones para factorizar (pero no estaba muy claro por qué te molestarías).
• El teorema fundamental del álgebra: una ecuación polinómica de enésimo grado con coeficientes reales o complejos tiene n raíces reales y / o complejas.

Como mencionas el cálculo, aquí hay algo que intento (y, por desgracia, en su mayoría no) para que mis alumnos comprendan: ¡Si debes factorizar, haz trampa!

En particular: si desea encontrar algo como [matemática] \ lim \ limits_ {x \ to 2} \ frac {x ^ {2} + 5x – 14} {x ^ {2} – 6x + 8} [/ matemática ], comience observando que tanto el numerador como el denominador son 0 cuando [math] x = 2 [/ math], lo que significa que ambos tienen un factor de [math] x – 2 [/ math]. Una vez que conoces un factor, encontrar el otro es fácil:

• La mejor manera es dividir: [matemáticas] (x ^ {2} + 5x – 14) \ div (x – 2) = x + 7, [/ matemáticas] y [matemáticas] (x ^ {2} – 6x + 8) \ div (x – 2) = (x + 4) [/ matemáticas]. Desafortunadamente, desperdiciamos tanto tiempo en álgebra en factoring que los estudiantes rara vez, si acaso, están expuestos a la división polinómica, a pesar de que esto es mil millones de veces más útil.
• Si debe utilizar la factorización de prueba y error, puede completar los detalles una vez que conozca un factor: [matemática] x ^ {2} + 5x – 14 = (x – 2) (\ ldots) [/ matemática]. Usted conoce el ejercicio aquí: dado que los primeros términos se multiplican a [matemática] x ^ {2} [/ matemática], el primer término debe ser x; Como los últimos términos se multiplican por [matemática] -14 [/ matemática], el último término debe ser [matemática] 7 [/ matemática].

Answer 2

-A2A-

En mi experiencia con el cálculo, me encuentro con mayor frecuencia factorizando polinomios en mi cabeza. Esto habla del hecho de que los polinomios son lo suficientemente simples, aunque hay muchos que pueden requerir la fórmula cuadrática. Por lo general, me encuentro recurriendo a mi calculadora gráfica para encontrar estas raíces, ya que el énfasis del examen AP no es demostrar el dominio de la fórmula cuadrática. También me gustaría señalar que muchos de los problemas presentados en el cálculo requieren una comprensión básica de cómo se ve una función (es decir, si tiene raíces reales). Por lo tanto, aunque sea útil encontrar todas las raíces de un polinomio de todas las formas posibles, no creo que sea necesario de ninguna manera.

¡Espero que esto ayude!

Answer 3

Gracias por el A2A!

Esta pregunta es similar a preguntar si necesita conocer todas las raíces latinas de las palabras para tener éxito como autor. ¡Obviamente no! Se vuelve útil conocer algunas palabras raíz en caso de que alguna vez vea una palabra que no conoce, ¡pero definitivamente no necesita saberlas todas!

Answer 4

En mi experiencia, he podido hacerlo simplemente usando la fórmula cuadrática (a mano y en la calculadora si me siento flojo y / o apretado a tiempo) o usando el método de “diamante” para factorizar un polinomio.

Si bien esta es solo mi experiencia con los polinomios en el cálculo, sin duda ser capaz de descifrar los polinomios de la mayor manera posible será muy útil para usted en el cálculo y más allá.

Answer 5

Su pregunta es como preguntar si, para convertirse en un autor exitoso (en inglés), es necesario conocer todas las diferentes ortografías que pueden hacer que suene la “A larga” (es decir, a, ai, octavo, aigh, ay, er, et , ei, au, a_e, ea, ey). La respuesta es un rotundo “no”. Dicho esto, sin duda deberías ser bueno para factorizar porque surgirá una y otra vez en futuros cursos de matemáticas. Es una herramienta fundamental que le permite resolver ciertos tipos de problemas. Pero ciertos métodos de factorizar polinomios son raros y si alguna vez los necesita para resolver un problema, las herramientas informáticas de álgebra simbólica harán el trabajo.

De hecho, muchos matemáticos trabajan en campos que nunca requieren que factoricen un polinomio …

Answer 6

Bueno, nadie sabe todas las formas de factorizar un polinomio general, pero sospecho que todo lo que necesita saber en este momento es cómo factorizar cuadráticos, y si conoce la fórmula, eso funcionará todo el tiempo: hay otros métodos que funcionan y son más simples, pero tendrá que aprenderlos, tal vez si está interesado y tiene el tiempo que sería útil.

Si usa la fórmula cuadrática, le valdría la pena entender cómo se deriva, eso ayudaría mucho en sus estudios matemáticos.

Answer 7

Apuesto a que casi todos los matemáticos conocen la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas.

Apuesto a que menos del 0.1% conoce las fórmulas correspondientes para las ecuaciones cúbicas y cuárticas de memoria, y no existe tal fórmula para polinomios de grado 5 o mayores.

Estas ecuaciones son prácticamente inútiles. Muchas otras cosas que son mucho más útiles para saber.

Answer 8

En realidad, factorizar polinomios es un concepto indispensable, de hecho. Comprender la factorización de polinomios significaría saber que, en realidad, con respecto a los números reales, podríamos terminar sin encontrar suficientes raíces reales para dividir un polinomio dado en factores lineales.

Para saber de antemano la factorización de ciertos polinomios cuenta como un método de factorización, aquí. La construcción de polinomios a partir de términos lineales arbitrarios podría excluirse de la lista de métodos de factorización.

Famoso y un tipo de factorización prototípica, entonces, sería [matemática] z ^ n-1 = \ prod_ {k = 0} ^ {n-1} {(ze ^ {i \ frac {2k \ pi} {n}} )} [/ math], por supuesto. Esto da lugar al fenómeno de las “raíces de la unidad”, que finalmente conduce a raíces complejas de polinomios reales.

Otra función que vale la pena conocer con respecto a las raíces sería [matemática] z ^ 2 + 1 = (z + \ sqrt {-1}) (z- \ sqrt {-1}) [/ matemática], debido a [matemática] \ pm [/ matemáticas] [matemáticas] \ sqrt {-1} [/ matemáticas] raíces, es decir.

Con la jerga matemática o el lenguaje, podemos usar indistintamente “raíces” y “ceros”, las raíces, por supuesto, son preferidas, principalmente, por razones históricas.

Answer 9

Debe ser experto en factorizar trinomios cuadráticos, así como la diferencia de cuadrados. Debería poder factorizar la diferencia de cubos y la suma de cubos.

Debería poder reconocer si un polinomio como una sección cónica y poder reescribirlo en forma estándar completando el cuadrado.

Todas estas cosas serían muy útiles para saber el primer día. Yo diría que la mayoría de los estudiantes son semanales en algunas o la mayoría de estas áreas cuando vienen a mi clase de Cálculo. Paso mucho tiempo rellenando los huecos. Los estudiantes que dominan todas o la mayoría de estas áreas en el primer día son generalmente los que obtienen un puntaje de 5.

Answer 10

Si por “entender” te refieres a la capacidad de recordar y usar esos trucos para factorizar polinomios? No, no en lo más mínimo.

Si por “estándar” te refieres a las habilidades integrales y la intuición altamente desarrollada que te permitirán entenderlo todo. Eso definitivamente puede ayudar.

Answer 11

No. Generalmente hay métodos simples para factorizar algunos polinomios. En la escuela secundaria probablemente tenías que hacer esto mucho. No puedo recordar todos los nombres. Luego hay varios trucos que aprenderás en el cálculo, pero también hay métodos para encontrar raíces para polinomios de hasta 4 dados o puedes usar el Método de Newton.

Sin embargo, he hecho muchas preguntas de cálculo en los últimos 3 meses, creo. Hay algunas, las únicas cosas que necesita saber que surgen realmente son fracciones parciales y rara vez verá polinomios por encima del orden 2. Creo que todos esos métodos están en línea, pero creo que puede hacerlo. Creo que hay algunos más.

El cálculo trata más sobre métodos de integración, algo de álgebra, diferenciación, cosas así.

Answer 12

Gracias por la solicitud, o es necesario saber las formas más comunes de factorizar