¿Han aprendido algo los matemáticos de o sobre funciones exponenciales con bases negativas?

Es problemático extender la exponenciación a bases negativas. Si el exponente es racional con un denominador impar en los términos más bajos (en particular, si es entero, denominador 1), la definición habitual de la potencia m / n como enésima raíz de la potencia enésima o potencia enésima de la raíz enésima no es problemática, pero esto no se puede graficar ya que los resultados cambian de positivo a negativo dependiendo de si el numerador es par o impar. Para los racionales con denominador irreductiblemente par, el resultado debe ser puramente imaginario, pero para los exponentes irracionales no existe una definición que se ajuste continuamente a estos. Para una definición continua, es necesario elegir una rama de la función de registro natural compleja para que [math] (- 2) ^ x = e ^ {x \ ln (-2)} [/ math] sea significativo. El problema es que [math] \ ln (-2) [/ math] podría ser [math] \ ln 2 + i \ pi [/ math] o [math] \ ln 2 – i \ pi [/ math] o [ matemáticas] \ ln 2 + 3i \ pi [/ matemáticas] o un número infinito de otras opciones: [matemáticas] \ ln 2 + i \ pi [/ matemáticas] es la opción estándar a menudo en mayúscula “Ln” para enfatizar que la favorecida Se entiende el valor. Sin embargo, utilizando esta definición, [matemática] (- 2) ^ {1/3} [/ matemática] ya no es la raíz del cubo real negativa, sino que sobresale en el plano complejo en el grado 60 (es decir, [matemática] ] \ pi / 3 [/ math]) dirección: tendríamos que definir [math] \ ln (-2) = \ ln 2 + 3i \ pi [/ math] para hacer [math] e ^ {(1/3 ) \ ln (-2)} [/ math] caen en la línea real negativa.

No, los matemáticos nunca han aprendido nada por el estilo, y la razón es simple.

Estas operaciones son indefinidas .

Echemos un vistazo a un ejemplo simple en el que a es un número real yb es un número estrictamente (!) Positivo.

Lo que escribimos [math] b ^ a [/ math] no es multiplicación ‘repetida’, se define como [math] e ^ {a \ ln (b)} [/ math].

b no puede ser otra cosa que un número estrictamente positivo, porque la función ln se define en [math] \ mathbb R _ + ^ * [/ math].

Si desea que [math] (- 2) ^ a [/ math] tenga sentido, debe darle un significado.

No hay problema con bases negativas una vez que llegamos a números complejos. Los exponentes fraccionales pueden conducir a valores múltiples, a veces un número infinito de ellos, pero eso también es cierto para las bases positivas.

La clave es la identidad de Euler, [math] e ^ {i \ pi} = – 1. [/ math] Nos permite reemplazar el signo menos con algo más fácil de exponer. La identidad de Euler con la potencia [matemática] 2k [/ matemática], para el entero [matemática] k, [/ matemática] nos ayuda a obtener múltiples valores: [matemática] e ^ {2 \ pi ki} = 1. [/ Matemática]

Entonces,

[matemáticas] (- 2) ^ {x} = (e ^ {i \ pi} e ^ {\ ln 2} e ^ {2 \ pi ki}) ^ x = e ^ {x \ ln 2 + i (1 + 2k) \ pi x} [/ matemáticas]

Si [math] x [/ math] es real, entonces podemos continuar

[matemáticas] (- 2) ^ {x} = 2 ^ x (\ cos ((1 + 2k) \ pi x) + i \ sin ((1 + 2k) \ pi x)) [/ matemáticas]

Similar,

[matemáticas] (- e) ^ x = (e ^ {i \ pi} e ^ {2 \ pi ki} e ^ 1) ^ x = e ^ {x + i (1 + 2k) \ pi x} [/ matemáticas]

y

[matemáticas] (- 1) ^ x = (e ^ {i \ pi} e ^ {2 \ pi ki}) ^ x = e ^ {i (1 + 2k) \ pi x} [/ matemáticas]