Es problemático extender la exponenciación a bases negativas. Si el exponente es racional con un denominador impar en los términos más bajos (en particular, si es entero, denominador 1), la definición habitual de la potencia m / n como enésima raíz de la potencia enésima o potencia enésima de la raíz enésima no es problemática, pero esto no se puede graficar ya que los resultados cambian de positivo a negativo dependiendo de si el numerador es par o impar. Para los racionales con denominador irreductiblemente par, el resultado debe ser puramente imaginario, pero para los exponentes irracionales no existe una definición que se ajuste continuamente a estos. Para una definición continua, es necesario elegir una rama de la función de registro natural compleja para que [math] (- 2) ^ x = e ^ {x \ ln (-2)} [/ math] sea significativo. El problema es que [math] \ ln (-2) [/ math] podría ser [math] \ ln 2 + i \ pi [/ math] o [math] \ ln 2 – i \ pi [/ math] o [ matemáticas] \ ln 2 + 3i \ pi [/ matemáticas] o un número infinito de otras opciones: [matemáticas] \ ln 2 + i \ pi [/ matemáticas] es la opción estándar a menudo en mayúscula “Ln” para enfatizar que la favorecida Se entiende el valor. Sin embargo, utilizando esta definición, [matemática] (- 2) ^ {1/3} [/ matemática] ya no es la raíz del cubo real negativa, sino que sobresale en el plano complejo en el grado 60 (es decir, [matemática] ] \ pi / 3 [/ math]) dirección: tendríamos que definir [math] \ ln (-2) = \ ln 2 + 3i \ pi [/ math] para hacer [math] e ^ {(1/3 ) \ ln (-2)} [/ math] caen en la línea real negativa.
¿Han aprendido algo los matemáticos de o sobre funciones exponenciales con bases negativas?
Related Content
¿Cuál es la ecuación matemática más larga que has hecho y cuánto tiempo te llevó?
¿Hay matemáticos que inicialmente no eran buenos en matemáticas?
¿Los matemáticos piensan que la simplicidad es parte de las matemáticas?
No, los matemáticos nunca han aprendido nada por el estilo, y la razón es simple.
Estas operaciones son indefinidas .
Echemos un vistazo a un ejemplo simple en el que a es un número real yb es un número estrictamente (!) Positivo.
Lo que escribimos [math] b ^ a [/ math] no es multiplicación ‘repetida’, se define como [math] e ^ {a \ ln (b)} [/ math].
b no puede ser otra cosa que un número estrictamente positivo, porque la función ln se define en [math] \ mathbb R _ + ^ * [/ math].
Si desea que [math] (- 2) ^ a [/ math] tenga sentido, debe darle un significado.
No hay problema con bases negativas una vez que llegamos a números complejos. Los exponentes fraccionales pueden conducir a valores múltiples, a veces un número infinito de ellos, pero eso también es cierto para las bases positivas.
La clave es la identidad de Euler, [math] e ^ {i \ pi} = – 1. [/ math] Nos permite reemplazar el signo menos con algo más fácil de exponer. La identidad de Euler con la potencia [matemática] 2k [/ matemática], para el entero [matemática] k, [/ matemática] nos ayuda a obtener múltiples valores: [matemática] e ^ {2 \ pi ki} = 1. [/ Matemática]
Entonces,
[matemáticas] (- 2) ^ {x} = (e ^ {i \ pi} e ^ {\ ln 2} e ^ {2 \ pi ki}) ^ x = e ^ {x \ ln 2 + i (1 + 2k) \ pi x} [/ matemáticas]
Si [math] x [/ math] es real, entonces podemos continuar
[matemáticas] (- 2) ^ {x} = 2 ^ x (\ cos ((1 + 2k) \ pi x) + i \ sin ((1 + 2k) \ pi x)) [/ matemáticas]
Similar,
[matemáticas] (- e) ^ x = (e ^ {i \ pi} e ^ {2 \ pi ki} e ^ 1) ^ x = e ^ {x + i (1 + 2k) \ pi x} [/ matemáticas]
y
[matemáticas] (- 1) ^ x = (e ^ {i \ pi} e ^ {2 \ pi ki}) ^ x = e ^ {i (1 + 2k) \ pi x} [/ matemáticas]
More Interesting
¿Puede una persona común alcanzar el nivel matemático de alguien como Paul Erdos o Terence Tao?
¿Puede un informático convertirse en matemático?
¿Cómo se puede saber cuándo un sistema lineal tiene infinitas soluciones?
¿Cuál es la diferencia entre matemáticos aplicados e ingenieros?