¿Los matemáticos piensan que la simplicidad es parte de las matemáticas?

Answer 1

Creo que la simplicidad en las matemáticas es un subproducto de la calidad más fundamental de la conectividad. Gran parte del trabajo matemático consiste en vincular campos de estudio separados, con la esperanza de poder utilizar las herramientas de uno para aprender más sobre el otro. El notable poder humano de la abstracción nos permite quitar la información de una situación de forma controlada, para permitir deducciones más fáciles con respecto a esa situación. Este proceso no solo facilita nuestra carga de trabajo, sino que también revela conexiones entre cosas que antes eran difíciles de comparar.

Por ejemplo, tome un círculo (no el disco bidimensional que limita, sino el límite unidimensional de este disco). Al elegir un punto base arbitrario, podemos preguntar acerca de los bucles en el círculo que comienzan y terminan en ese punto base. Con un poco de trabajo, podemos demostrar que puede concatenar estos bucles para obtener nuevos bucles (solo trace un bucle seguido del segundo), por lo que, en cierto sentido, podemos agregar bucles juntos. Sin embargo, surgen algunos problemas: una de las propiedades muy agradables de la suma (y muchos otros operadores binarios) es la asociatividad: a + (b + c) = (a + b) + c, para todos a, b, c . (Supongamos que estamos tratando con números enteros). Significa que no tenemos que preocuparnos por el orden en que juntamos los términos que están uno al lado del otro en una suma.

Trágicamente, la concatenación de bucles en nuestro círculo no es asociativa (la razón se debe a la necesaria reparametrización de los bucles después de la concatenación). Aquí es donde debemos aplicar nuestras facultades de abstracción: en lugar de mirar bucles específicos, nos fijamos en las clases de bucles de homotopía . Aproximadamente, esto significa que consideramos dos bucles equivalentes si se pueden deformar entre sí mientras permanecen en nuestro círculo, pero sin golpear ningún obstáculo, como agujeros en el espacio.

Hasta la homotopía, ya no se puede distinguir entre un bucle que no va a ninguna parte, sentado trivialmente en el punto base, y un bucle que sigue un camino y luego retrocede al punto base. Imagine tirar de ese bucle a lo largo de sí mismo hasta que lo haya deformado en el bucle constante.

Sin embargo, este pequeño truco nos brinda algo más que asociatividad para nuestros bucles: ahora podemos restar bucles utilizando el método de retroceso descrito anteriormente. Si me das un bucle, puedo “desconectarlo” y obtener un bucle trivial.

Entonces, espera … tenemos asociatividad para nuestros bucles, y cada bucle tiene un inverso? ¡Eso suena muchísimo como un grupo! De hecho, acabamos de construir el grupo fundamental, una herramienta ampliamente utilizada en topología algebraica. Pero entienda esto: ¡los bucles en el círculo (hasta la homotopía) se comportan exactamente de la misma manera que los enteros! Cada número entero corresponde a un bucle que se enrolla tantas veces alrededor del círculo, y cuando concatena bucles, el resultado es el mismo que agregar la cantidad de veces que se enrollan.

Esta pequeña correspondencia ha sido llevada al extremo, algo llamado la correspondencia Dold-Kan. Resulta que no puedes distinguir a un grupo aparte de un cierto tipo de espacio si solo lo miras hasta la homotopía. ¡El poder de la abstracción nos ha dado un nuevo puente entre la topología y el álgebra! Algunos, incluido yo mismo, descubrimos que este puente simplifica el estudio de los espacios. Herramientas como esta hacen que sea casi trivial probar algunos teoremas muy difíciles en otros campos de las matemáticas. Si bien no se crearon teniendo en cuenta la simplicidad (más bien, se desarrollaron para las nuevas conexiones ), el resultado final es una teoría elegante y hermosa.

¡La simplicidad es lo que obtienes cuando abstraes, y la abstracción es una parte importante de hacer matemáticas!

(Si desea leer más sobre los grupos fundamentales y lo que nos dicen sobre los espacios, ¡analice la teoría de la homotopía!)

Answer 2

¿Qué quieres decir con “simplicidad”? (Aparte de la “simplicidad que reside en las matemáticas” …)

Muy raramente existe un almuerzo gratis, pero podemos cambiar una gran dificultad por un montón de dificultades más pequeñas. A veces esto puede verse como un proceso de simplificación.

A menudo, las matemáticas se tratan de abstracción, de resolver problemas acerca de resolver problemas. No es suficiente (juego de palabras) descubrir cómo encontrar los valores de [matemáticas] x [/ matemáticas] que satisfagan [matemáticas] x ^ 2 – 3x + 2 = 0 [/ matemáticas], por ejemplo. ¿Por qué no los valores de [matemáticas] x [/ matemáticas] que satisfacen la misma ecuación donde todos los números son reemplazados por símbolos que pueden tomar el valor de cualquier número? ¡Encontrar una solución para eso resuelve todas las cuadráticas a la vez! Entonces, si vemos una ecuación polinómica que podemos reducir a una cuadrática, podemos resolverla simplemente refiriéndonos a nuestra fórmula cuadrática general.

¿Es esto más simple?

Si y no. Hemos cambiado un problema (o clase de problemas), resolviendo una ecuación cuadrática, por otro: reconocer ecuaciones polinómicas cuadráticas. Tal vez esto sea más simple para ti, tal vez no lo sea.

Resolví un problema en mi doctorado, y resultó ser muy simple, pero entender eso requiere entender muchas otras cosas. Si está interesado en la dinámica del problema de los 3 cuerpos y sabe un poco sobre los sistemas dinámicos en general, es posible que ya sepa lo suficiente que mi pequeño teorema es fácil de entender y tiene mucho sentido, y puede encontrar la simplicidad del resultado sorprendente o satisfactorio de alguna manera. Si no tiene ese conocimiento de fondo, entonces hay mucho que asimilar, y es posible que no se beneficie al leer la prueba de inmediato.

Aquí hay una analogía sobre el aprendizaje y la enseñanza:

A un gran estudiante puede resultarle sencillo subir de un asidero distante en su materia a otro, a otro; otros se quedarán rascándose la cabeza preguntándose cómo pasar del primero al segundo.

Un gran maestro puede encontrar una manera de forjar nuevos asideros intermedios que el primer alumno no necesitaba, de modo que los otros alumnos ahora encuentren cada paso simple. La dificultad se ha transformado de unas pocas etapas grandes a muchas pequeñas, ¡y gran parte ha sido absorbida por el maestro que descubrió dónde colocarlas!

La simplicidad, como la belleza, puede estar en el ojo del espectador.

(Agregaré aquí que llamaría a la simplicidad de la forma o la expresión algo más parecido a la elegancia , de lo cual las matemáticas tienen picas, ¡aunque puedes encontrar suficientes excepciones para cuestionarlo como regla! ¡Pero la forma y la expresión no tienen un significado intrínseco! , y entender el significado en contexto se remonta al resto de mi publicación).

Answer 3

Creo que hay simplicidad en todo.

Aprendemos agrupando conceptos. Al resolver un problema matemático muy difícil, un buen matemático tiene una base y un vocabulario de muy alto nivel para pensar sobre el problema. Pueden “oler” los caminos más prometedores de inmediato y seguirlos.

De esa manera, pueden resolver problemas muy difíciles que están fuera del alcance del estudiante promedio de matemáticas.

La única forma de hacerlo es practicando, para que comprenda los conceptos de alto nivel y tenga una base más abstracta. Esta habilidad no puede ser mecanizada fácilmente.

Answer 4

La matemática se trata de usar hechos probados, teoremas, ecuaciones, axiomas, definiciones, etc. para extrapolar nuevas ideas a través de pruebas rigurosas, lógica, etc.

La matemática es simple si se piensa de esta manera. No hay debates, no hay alternativas posibles, no hay preguntas difíciles que tengan respuestas múltiples, cada una con sus propios puntos, cualquiera de los cuales podría ser válida. Nada de eso.

Si es cierto, es válido. Si no es así, no lo es.

En otra nota, los problemas complejos pueden ser difíciles, pero no tienen que serlo. Si los matemáticos pueden encontrar una manera simple de mostrar algo complejo, lo harán. Mientras siga siendo cierto, eso es.

Answer 5

A2A: no intrínsecamente; pero siempre estoy buscando la forma más sencilla de expresar o probar cosas. Podría preferir la palabra “elegante” a “simple”. Estoy seguro de que no estoy solo para apreciar la elegancia en la expresión matemática. Desafortunadamente, existen resultados que no pueden ser simples o elegantes, ya sea en su expresión o prueba.

Answer 6

Supongo que matemático es como un juego. Hay un conjunto de reglas fijas que debes obedecer. ¡Y no puedes hacer trampa! Cuando “tienes” las reglas, el juego es, si lo deseas, simple.