¿Cómo se puede saber cuándo un sistema lineal tiene infinitas soluciones?

Answer 1

Considere lo que significa que [math] Ax = b [/ math] sea verdadero. Esto significa que

[matemáticas] \ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} a_ {11} x_1 + \ dots + a_ {1n} x_n & = b_1 \\ & \ vdots \\ a_ {n1} x_1 + \ dots + a_ {mn } x_n & = b_m \ end {align *}} [/ math]

para algún conjunto de números [math] \ {x_i \} [/ math] (típicamente organizado en un vector de columna representado [math] x [/ math]).

Suponga que [math] A ^ \ prime x ^ = b ^ \ prime [/ math] es el sistema después de cierto número de operaciones de fila, y [math] A ^ \ prime [/ math] tiene una fila de ceros y [math] b [/ math] tiene un cero en el lugar correspondiente. Esto significa que para esa fila

[matemáticas] \ displaystyle {\ qquad0 \ times \ sum_i x_i = 0.} [/ matemáticas]

Esto se satisface para cualquier valor de cada [matemática] x ^ \ prime_i [/ ​​matemática] que pueda poner.

Si tienes una situación donde

[matemáticas] \ displaystyle {\ qquad0 \ times \ sum_i x ^ \ prime_i = b_j \ ne 0} [/ matemáticas]

entonces tienes un sistema inconsistente que no tiene soluciones.

Answer 2

Tienes que expecificar qué sistema. Sí, hay muchos sistemas con muchas soluciones. Por ejemplo, cada sistema donde una de las ecuaciones sea una combinación lineal de las otras. Resolviendo Cramer si llegas a un cociente para una indeterminación de tipo incógnito 0/0, entonces tienes infinitas soluciones (y luego es automáticamente cierto para todas ellas)