La trigonometría proviene de la trigonometría esférica, que proviene de la astronomía.
Para una muy buena aproximación, las estrellas aparecen fijas en una esfera, y estamos en el centro, girando una vez al día.
No debemos mirar a nuestros antepasados por pensar que estaban en el centro del universo. La idea de que parece que las estrellas están en una esfera y que estamos girando en el centro fue un verdadero progreso.
Los antiguos astrónomos eran conscientes de los objetos visibles no fijados a la esfera celeste: la luna, el sol, Júpiter, Venus, Marte, Saturno y Mercurio. Se observó que estos objetos se movían a lo largo del mismo camino a través de la esfera celestial llamada eclíptica . Se dio cuenta de que esto significaba que (nosotros, incluida la Tierra) estábamos todos en el mismo plano (aproximadamente).
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Nos toma un año ver toda la esfera celestial que podemos ver, porque la parte que aparece en la noche cambia con los meses. El zodiaco divide la eclíptica en meses. Pero por ahora olvidemos este movimiento anual y concentrémonos en la rotación diaria.
La rotación de la tierra hizo una identificación natural del ángulo y el tiempo. La idea de ángulos lineales, la medición de ángulos que se suman, surge naturalmente de la idea de que el tiempo se suma. Eso es un salto de las mediciones más naturales, relaciones lineales como la pendiente, para las cuales agregar ángulos no es una simple suma.
Los griegos entendieron ángulos bisectantes, ángulos en un triángulo o polígono general, ángulos complementarios y ángulos suplementarios, todo lo cual aparentemente implica ángulos que suman. Pero sospechaban de la adición de ángulos, porque sabían que no podían dividir los ángulos cuando podían dividir fácilmente las longitudes por cualquier número entero. Así que en realidad no tenían trigonometría, aunque Euclides tenía varias construcciones geométricas para lo que llamaríamos la Ley de los cosenos.
Entonces, tenemos tiempo en aumento, que si medimos en días, la parte fraccionaria nos dice nuestro ángulo. Podemos pensar en un reloj marcado en 360 grados en lugar de horas, que es como lo hicieron los babilonios. Ese ángulo nos dice qué esperar en el cielo si el único movimiento fuera la rotación diaria de la Tierra; podemos comparar eso con lo que realmente vemos y aprender algo sobre el movimiento de la tierra.
Ptolomeo, alrededor del año 100 DC, tenía el equivalente a las fórmulas de ángulo de suma para seno y coseno.
De todos modos, es el movimiento circular de la tierra lo que condujo a los ángulos lineales y aditivos, y a los componentes lineales del movimiento circular, seno y coseno. Hasta hace relativamente poco tiempo, la geometría significaba que Euclides y la trigonometría esférica se dejaban en gran parte a los astrónomos. Fue Euler quien popularizó la notación moderna y trajo todo de vuelta al avión, donde su principal uso es torturar a los estudiantes de secundaria.