Cuando [math] a [/ math] es un número real positivo ([math] a> 0 [/ math]) se puede demostrar que la función [math] f (x) = a ^ x [/ math] es aumentando o disminuyendo en toda la recta numérica real, dependiendo de si [matemática] a [/ matemática] es mayor o menor que [matemática] 1 [/ matemática]. Eso significa que si [matemática] a> 1 [/ matemática] entonces podemos decir: para dos números reales [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática], si [matemática] x <y [ / math] luego [math] a ^ x <a ^ y [/ math]. Funciona de manera opuesta si [math] a <1 [/ math]. Entonces, en la situación donde [math] a \ neq 1 [/ math], si [math] m \ neq n [/ math] entonces [math] a ^ m \ neq a ^ n [/ math]. Por lo tanto, la única forma de tener [matemáticas] a ^ m = a ^ n [/ matemáticas] es si [matemáticas] m = n [/ matemáticas], independientemente de si son enteros o no.
(Ahora, ¿qué sucede si [matemáticas] a = 1 [/ matemáticas]?)
Si [matemática] a = 0 [/ matemática] entonces [matemática] a ^ m = 0 [/ matemática] para valores positivos de [matemática] m [/ matemática], pero [matemática] a ^ m [/ matemática] no existe si [math] m [/ math] es negativo. (¿Ves por qué? Piensa en lo que [matemática] 0 ^ {- 1} [/ matemática] significa, por ejemplo). Si [matemática] a = 0 [/ matemática] y [matemática] m = 0 [/ matemática] entonces no podemos decir que [math] a ^ m [/ math] tiene un valor bien definido, pero esto es algo más especial que simplemente decir que no está definido. [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] es un ejemplo de lo que llamamos una forma indeterminada. El significado real de eso implica cálculo, pero la explicación simple que daría es que usted podría decidir literalmente que cualquier número complejo sea el valor de [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] y sería coherente con las leyes del álgebra .
(El verdadero significado de “forma indeterminada” está más cerca de decir que, sin importar el número no negativo que elija, digamos [matemáticas] e ^ \ frac {23} {77 \ pi} [/ matemáticas], puede pensar de funciones [matemática] f (x) [/ matemática] y [matemática] g (x) [/ matemática] y una forma particular de mover el valor de [matemática] x [/ matemática] para hacer los valores de [matemática] f (x) [/ math] y [math] g (x) [/ math] ambos se acercan a [math] 0 [/ math], de modo que el valor de [math] f (x) ^ {g (x)} [/ math] se acerca al número que eligió originalmente. Una pregunta divertida a considerar después de haber estudiado los límites por un momento es: ¿puede encontrar un ejemplo que “iguale” [math] \ infty [/ math]?)
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Finalmente, si [math] a [/ math] es negativo, no puede hablar significativamente de [math] a ^ m [/ math] como un número real para la mayoría de los valores reales de [math] m [/ math]. (Considere el ejemplo de [matemáticas] (- 1) ^ \ frac {1} {2} [/ matemáticas], para empezar.) Pero [matemáticas] a ^ m [/ matemáticas] está claramente definido cuando [matemáticas] m [ / math] es un número entero. No debería ser demasiado difícil en este caso usar el ejemplo de potencias de números positivos para mostrar que las potencias (enteras) de un número negativo solo son iguales cuando los exponentes son iguales, es decir, si [matemática] m [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] son enteros y [matemática] a ^ m = a ^ n [/ math] debe ser que [math] m = n [/ math].