Gracias por el A2A.
Como ya señaló, un plano se define mediante la ecuación [math] \ vec {r} \ cdot \ vec {n_0} – p = 0. [/ Math]
Entonces necesitas encontrar [math] p. [/ Math]
Tenga en cuenta que por la desigualdad de Cauchy-Schwartz:
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[matemáticas] p = \ vec {r} \ cdot \ vec {n_0} \ le | \ vec {r} || \ vec {n_0} |. [/ matemáticas]
Entonces, para cualquier punto [math] r [/ math] que esté en el avión, obtendrá [math] | \ vec {r} | \ ge \ dfrac {p} {| \ vec {n_0} |} [/ math]
Además, el mínimo de [math] | \ vec {r} | [/ math] (que es la distancia al origen) se alcanzará en [math] d = | \ vec {r} | = \ dfrac {p} {| \ vec {n_0} |}. [/ math]
Así [matemáticas] p = d | \ vec {n_0} | = 5 \ sqrt {2 ^ 2 + 2 ^ 2 +1} = 15. [/ Math]
Observación: Alternativamente, puede observar que [matemática] p = d [/ matemática] siempre que [matemática] | \ vec {n_0} | = 1. [/ Matemática]
Por lo tanto, debe reemplazar su [math] \ vec {n_0} [/ math] por [math] \ dfrac {\ vec {n_0}} {| \ vec {n_0} |} [/ math] y luego puede suponer que [ matemáticas] p = d [/ matemáticas].
Y llegarás a la misma ecuación hasta un factor constante [matemáticas] (3 [/ matemáticas] en este caso).