Cómo saber la verdadera forma de resolver la ecuación diferencial ordinaria

Answer 1

No creo que haya un único método “verdadero” para resolver las EDO. En general, analizaría su problema e intentaría encontrar los métodos más fáciles para resolver el problema dado y asegurarse de que se cumplen las condiciones necesarias para utilizar un proceso específico.

Personalmente, mis dos métodos favoritos son las transformaciones de LaPlace y la variación de los parámetros. Para LaPlace, todo el ODE tiene que ser continuo por partes y de orden exponencial. En cuanto a la variación de parámetros, creo que la única condición es poder encontrar las raíces de la ecuación característica. Este método puede resolver cualquier ecuación diferencial de coeficiente constante. Pero a medida que aumenta el orden de la ecuación, la dificultad de este método también aumenta hasta que se vuelve realmente imposible para encontrar las raíces. Galois demostró hace un tiempo que no hay una forma singular de resolver las raíces de quinto orden. Desafortunadamente, ambos métodos tienen muchos casos en los que no puedes usarlos.

Answer 2

Por lo general, los resuelvo probando primero el método menos complicado hasta el complejo,

1. integración directa: use este método cuando la derivada depende de una sola variable, por ejemplo dy / dx = f (x), integra ambos lados y viola
2. Separación de variables: este método solo es aplicable cuando la derivada se expresa en términos de una sola variable, digamos f (x). Cuando la derivada depende de dos variables, por ejemplo dy / dx = f (x, y). Tenemos que dividir el DE ya que solo se puede integrar una expresión con respecto a una variable a la vez. Considere DE: dy / dx = f (x, y) (forma estándar) aquí la derivada es una función de x e y. Podemos factorizar f (x, y) en factores que contienen solo x términos o términos y dicen f (x, y) = p (x) .q (y). También es posible que no haya factores x o y, por lo que debemos permitir la posibilidad de que p o q sean constantes. Por lo tanto, dy / dx = p (x) .q (y) esto se puede manipular para dy / q (y) = p (x) dx y luego integrar ambos lados, de modo que la izquierda con respecto a y y la derecha con respecto a x.
3. Homogéneo: a menudo no es posible separar las variables en una forma diferencial dada dy / dx = f (x, y) por ejemplo dy / dx = (x + 4y) / 3x. Observamos que el grado total de x e y es el mismo, en este caso el grado de x es uno y el de y también es uno, así que usamos la sustitución y = vx donde v es una función de x, haciendo que la sustitución reducirá el inseparable original a una ecuación que es separable. En general, si y = vx, entonces la derivada de y es: dy / dx = (d / dx) (vx) ya que v es una función de x, usamos la regla del producto de diferenciación: dy / dx = (d / dx) (v) .x + v. (d / dx) (x) para que dy / dx = (dv / dx) x + v
4. Exacto: un primer orden DE: M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 se dice que es exacto si la derivada parcial de M con respecto a y es igual a la derivada parcial de N con respecto a x (iba a escribir la condición matemática pero estoy usando mi teléfono, no tengo los símbolos). Si ese es el caso, entonces la solución está dada por la integración de M (x, y) dx + integración de N (x, y) dy = c
5. Lineal: cuando un DE de primer orden no es separable, puede ser lineal. Podemos seguir un procedimiento de tres pasos cuando se trata de ED lineales. Paso 1) escríbelo en su forma estándar dy / dx + Py = Qdx Donde P y Q son constantes o funciones de x. Paso 2 encuentre el factor integrador (IF). IF = e ^ (intergral de Pdx) paso 3 anote la solución general: y.IF = intergral de IF.Qdx
6. Bernoulli: el diferencial dy / dx + Py = Qy ^ n (forma estándar) Donde P y Q son constantes o funciones de x. Tenga en cuenta que la forma estándar es casi idéntica a la forma lineal. La presencia de y ^ n en el RHS lo hace diferente. Seguimos un procedimiento de cinco pasos i) escribirlo en forma estándar, ii) dividir ambos lados entre y ^ n, iii) usar la sustitución y = y ^ (1-n) y reducir a forma lineal, iv) encontrar el IF y resolver como lo hizo con las ecuaciones lineales, v) sustituya v en términos de y. Espero que esto ayude.