¿Cuáles son las contribuciones matemáticas de Ramanujan?

Answer 1

Ramanujan se pone de pie, inevitablemente como una de las mentes más grandes que jamás haya respirado en la Tierra. Con una carrera creciente en matemáticas. Nada le impedía vivir en el ámbito de las Matemáticas, ni la Guerra Mundial ni el racismo en Inglaterra (y mucho menos la tuberculosis maltratada). Y en esta notable carrera como matemático profesional durante aproximadamente 5 años, ha contribuido no menos de 5000 teoremas y conjeturas, la mitad de los cuales permanece sin probar. Destaco algunas de sus notables contribuciones.

En primer lugar,

Teoría de la partición. Algunas matemáticas afirman que es una de sus mayores contribuciones a la teoría de números. La partición de un número básicamente implica la cantidad de formas en que un número puede expresarse explícitamente como la suma de enteros positivos (donde el orden es independiente). en colaboración con GH Hardy, una aproximación al número de formas de particionar cualquier número entero, y también una serie infinita que determina exactamente el número de particiones.

Las expresiones asintóticas son las siguientes

[matemáticas] p (n) = \ frac {1} {4 \ sqrt {3}} e ^ {\ pi \ sqrt {\ frac {2n} {3}}} [/ matemáticas]

En palabras de GH Hardy, citado de la Disculpa de un matemático, “El problema era un misterio de madriguera, y la mayor de las mentes había trabajado en todo eso destinado al fracaso. Sin embargo, un buen día Ramanujan entró en mi habitación con esta notable serie infinita, que determinó exactamente el número de particiones de un número “

También descubrió de forma independiente pocas congruencias relacionadas con particiones, como

[matemáticas] p (5k + 4) \ equiv 0 (mod 5) [/ matemáticas]

Y otros…

En segundo lugar,

Números altamente compuestos un término que fue acuñado independientemente por Ramanujan. Números altamente compuestos fue su primer trabajo de investigación publicado en una revista extranjera.

Los números altamente compuestos son aquellos enteros positivos que tienen más divisores que cualquier entero positivo más pequeño.

En tercer lugar,

Simulacros de funciones theta,

Uno de los mayores descubrimientos de Ramanujan, las funciones se denominan funciones Mock theta porque es muy análoga a las funciones Theta. La aplicación de tales funciones es tremenda no solo en matemáticas abstractas sino también en Mecánica Cuántica, para estudiar agujeros negros y nuevos avances en la teoría de supercuerdas.

Finalmente,

Superficies K3. Un tesoro matemático que permaneció oculto en sus cuadernos, hasta su reciente descubrimiento por el profesor Ken Ono. Eso fue descubierto de forma independiente cuarenta años después de su muerte. Sorprendentemente, lo había descubierto mucho antes de que nadie lo pensara. Sin embargo, no podría publicarlo por su prematura muerte.

Por lo tanto, la contribución de Ramanujan a las matemáticas es tan profunda como su ingenio, que puede ser fácilmente introspectado a partir de los pocos descubrimientos mencionados anteriormente. Era real en sus formas de contribución matemática, pero incondicionalmente humilde en sus viviendas, ahí es donde se sustenta su verdadera esencia.

Answer 2

Contribuciones

· Ramanujam hizo contribuciones sustanciales a la teoría analítica de los números y trabajó en funciones elípticas, fracciones continuas y en 1900 infinito, comenzó a trabajar por su cuenta en matemáticas sumando series geométricas y aritméticas.

· Trabajó en series divergentes . Envió 120 teoremas sobre las propiedades de divisibilidad de la función de partición.

· Dio un significado a la segunda integral euleriana para todos los valores de n (negativo, positivo y fraccionario). Él demostró que la integral de xn-1 e-7 = ¡(gamma) es verdadera para todos los valores de gamma.

· Conjetura de Goldbach: la conjetura de Goldbach es una de las ilustraciones importantes de la contribución de ramanujan a la prueba de la conjetura. La declaración es cada número entero mayor que dos es la suma de dos números primos, es decir, 6 = 3 + 3: Ramanujan y sus asociados habían demostrado que cada número entero grande podría escribirse como la suma de cuatro como máximo (Ejemplo: 43 = 2 + 5 + 17 + 19).

· Partición de números enteros : la partición de números enteros es otro problema similar que captó la atención de ramanujan. Posteriormente, ramanujan desarrolló una fórmula para la partición de cualquier número, que puede hacerse para obtener el resultado requerido mediante una serie de aproximaciones sucesivas. Ejemplo 3 = 3 + 0 = 1 + 2 = 1 + 1 + 1;

· Números: Ramanujan estudió los números altamente compuestos también que se reconocen como lo opuesto a los números primos. Estudia su estructura, distribución y formas especiales.

· Teorema de Fermat: también realizó un trabajo considerable en el teorema de Fermat sin resolver, que establece que un número primo de la forma 4m + 1 es la suma de dos cuadrados.

· Número de Ramanujan: 1729 es un famoso número de Ramanujan. Es el número más pequeño que se puede expresar como la suma de dos cubos de dos maneras diferentes: 1729 = 13 + 123 = 93 + 103

· Ecuaciones cúbicas y ecuaciones cuadráticas: a Ramanujam se le mostró cómo resolver ecuaciones cúbicas en 1902 y luego encontró su propio método para resolver las ecuaciones cuadráticas. Al año siguiente, sin saber que la quintica no podía ser resuelta por los radicales, intentó (y, por supuesto, falló) resolverla.

· La constante de Euler: en 1904 Ramanujam había comenzado a emprender una investigación profunda. Investigó la serie (1 / n) y calculó la constante de Euler a 15 decimales.

· Serie hipo geométrica: trabajó series hipo geométricas e investigó las relaciones entre integrales y series. Más tarde descubriría que había estado estudiando funciones elípticas. Los propios trabajos de Ramanujan sobre sumas parciales y productos de series hipergeométricas han llevado a un desarrollo importante en el tema.

Revista de la sociedad matemática india : Ramanujan continuó desarrollando sus ideas matemáticas y comenzó a plantear problemas y resolver problemas en la revista de la sociedad matemática india. Desarrolló relaciones entre ecuaciones modulares elípticas en 1910.

· Números de Bernoulli: publicó un brillante trabajo de investigación sobre los números de Bernoulli en 1911 en el diario de la sociedad matemática india y ganó reconocimiento por su trabajo. A pesar de su falta de educación universitaria, se estaba volviendo muy conocido en el área de madras como un genio matemático. Comenzó a estudiar los números de Bernoulli, aunque este fue completamente su propio descubrimiento independiente.

· Ramanujan elaboró ​​la serie de Riemann, las integrales elípticas, las series hiper geométricas y las ecuaciones de funciones de las funciones zeta, por otro lado, solo tenía una vaga idea de lo que constituye una prueba matemática. A pesar de muchos resultados brillantes, algunos de sus teoremas sobre números primos estaban completamente equivocados.

· Ramanujan descubrió independientemente los resultados de Gauss, Kummar y otros en series hipergeométricas.

· Quizás el trabajo más famoso fue sobre el número p (n) para números pequeños n, y ramaujan usó estos datos numéricos para conjeturar algunas propiedades notables, algunas de las cuales demostró que usaba funciones elípticas. otros solo fueron probados después de la muerte de Ramanujan. En un trabajo conjunto con apenas, ramanujan dio una fórmula asintótica para p (n). Tenía la notable propiedad de que parecía dar el valor correcto de p (n), y Rademacher demostró esto más tarde.

· Ramanujan descubrió una serie de identidades notables que implican propiedades de divisibilidad de la función de partición. También produjo bastantes resultados en integrales definidas en forma de formula general.

Además de su trabajo publicado, ramanujan dejó varios cuadernos llenos de teoremas que los matemáticos han seguido estudiando. El matemático inglés GN Watson, de 1918 a 1951, publicó 14 artículos bajo los teoremas del título general establecidos por Ramanujan y en total publicó casi 30 artículos inspirados en el trabajo de ramanjan. En 1997 se lanzó la revista ramanujan para publicar trabajos en áreas matemáticas influenciadas por Ramanujan ”.

Fuente: MÓDULO 4 – SRINIVASA RAMANUJAN (1887 AD – 1920 AD)

Answer 3

Su principal contribución en matemáticas radica principalmente en análisis, teoría de juegos y series infinitas. Hizo un análisis en profundidad para resolver varios problemas matemáticos sacando a la luz ideas nuevas y novedosas que dieron impulso al progreso de la teoría de juegos. Tal era su genio matemático que descubrió sus propios teoremas. Fue debido a su aguda perspicacia e inteligencia natural que ideó series infinitas para π
Esta serie constituye la base de ciertos algoritmos que se utilizan hoy en día. Un ejemplo notable es cuando resolvió el problema bivariado de su compañero de habitación en un instante con una respuesta novedosa que resolvió toda la clase de problemas a través de la fracción continua. Además de eso, también condujo a dibujar algunas identidades anteriormente desconocidas, como unir los coeficientes y proporcionar identidades para la secante hiperbólica.
También describió en detalle la función simulacro theta, un concepto de simulación de forma modular en matemáticas. Inicialmente, este concepto seguía siendo un enigma, pero ahora se ha identificado como partes holomórficas de las formas de Maass. Sus numerosas afirmaciones en matemáticas o conceptos abrieron nuevas perspectivas de investigación matemática, por ejemplo, su conjetura del tamaño de la función tau que tiene una forma modular distinta en la teoría de las formas modulares. Sus trabajos se convirtieron en una inspiración para matemáticos posteriores como GN Watson, BM Wilson y Bruce Berndt para explorar lo que descubrió Ramanujan y refinar su trabajo. Su contribución al desarrollo de las matemáticas, en particular la teoría de juegos, no tiene rival, ya que se basó en puro talento natural y entusiasmo. En reconocimiento a sus logros, su fecha de nacimiento el 22 de diciembre se celebra en la India como el Día de las Matemáticas. No estaría mal suponer que fue el primer matemático indio que ganó reconocimiento solo por su genio y talento innatos.